ABAISSEMENT DE L'ORDRE DES ÉQUATIONS
Si l'équation ne contenait que les dérivées de y à partir de la pième^ et qU'elle fût de la forme
on l'abaisserait d'abord à l'ordre n — p en prenant yW comme
fonction inconnue; puis on l'abaisserait encore d'une unité en
dx prenant yW comme variable indépendante et x — ~j~T~) Pour nou~
velle fonction inconnue. Ayant obtenu, par l'intégration, une relation entre y^p\ x' et n — p — i constantes arbitraires, on la ramènera, par des quadratures, d'abord à une relation entre y^p) , x et n — ^constantes arbitraires, puis à une relation entre y, x et n constantes, qui sera l'intégrale complète.
872. On peut encore, dans le même cas, opérer l'abaissement de l'équation par un autre changement de la variable dépendante. On a, en effet, d'après la formule (2) du n" 867,
dy <fr(*-D
dx = — - = — — 1
y yu)
d'où l'on tire
dy(»-V
En faisant maintenant successivement n = 2, 3, . . . , et substituant les valeurs de y", y'", . . . ainsi obtenues, la variable y étant prise pour nouvelle variable indépendante, on trouvera
de sorte que y", y'", . . -, j(w) seront exprimées au moyen dey' et de ses dérivées par rapport à y, jusqu'à l'ordre n — 1. L'équation prendra donc la forme
/ , dy' d»-\r
En l'intégrant, on obtiendra une relation entre y, y' et n ■ — 1 constantes arbitraires, et l'on achèvera alors l'intégration en résolvant cette relation soit par rapport ày', soit par rapport à y [845].
4o6 LIVRE IV. — CHAP. III, § II.
Ainsi une équation du second ordre
f(y,y',y") = o se ramènera, par cette transformation, à la forme
Par exemple, l'équation j " —f(y} devient [867]
y'dy'=f[y)dy.
De même, au moyen de la formule
J -7 djU»
on ramènera l'équation f[j (p^jAp+D^ . . . , j-(")) = o à la forme
/ dy(P->-1) d"-/'-1 y(>>+i )\
1 Y ' J ' djW) ' ' djU>)"-J>-i ) ~°'
l'intégration donnera une équation entre j) (^, y(p+i) et « — £> — i constantes arbitraires, et l'on traitera ensuite cette équation par la méthode des nos 860 et 866.
873. III. Equations homogènes par rapport à y et. à ses dérivées, ou, ce qui revient au même, par rapport à y et à ses différentielles dy, d-y, . . . , dny.
Une telle équation peut s'écrire sous la forme
Si l'on pose — — z , ou y = es, on aura les égalités
y =ez.z ,
y" = ez (z"
y"'=ez(z'"
les termes non écrits dans chaque parenthèse étant des polynômes contenant seulement les dérivées de z, et tels que celui qui cor-
ABAISSEMENT DE L'ORDRE DES ÉQUATIONS. \oj
respond à y^n), par exemple, ne dépende que des dérivées z^"~l\ £("~2), . . . , z' , et ne renferme z' qu'à des puissances inférieures à la 7iiemc. La raison de cette loi s'aperçoit immédiatement.
En substituant ces valeurs dans l'équation proposée, et divisant parym, on obtient une équation qui ne renferme plus que x, z', z", . . . , s("), et qui rentre dans le cas du n° 870. On voit, que l'on aurait eu immédiatement une équation d'ordre n — i , en posant
y = eS"'lx.
Exemples. — i° Soit l'équation
xP-d^y -r- xdxdy — ydx* = o, ou x-y" -+- xy ■ — y ■=. o,
homogène du premier degré en y, j ' , y" . Elle devient, par la transformation précédente,
H- xz' — i == o,
ou, en multipliant par — .»
•dz' + z'dx + lx*z'* — l) — = O, rf.r *f f xz' )
on en tire, en intégrant,
t -h xz' , .r2 — C r? d ou z
loi
et, par suite,
C| et C2 étant des constantes arbitraires.
On aurait pu intégrer cette équation en commençant par abaisser son ordre d'une unité [869], ce qui aurait donné
x* y' — xy = C,
équation linéaire dont l'intégration conduit au même résultat que ci-dessus.
4o8 LIVRE IV. — CHAP. III, § II.
2° Une équation différentielle linéaire sans second membre
est homogène par rapport k y et à ses dérivées, et, par suite, on peut abaisser son ordre d'une unité, en posant
r étant une nouvelle fonction inconnue. Par cette substitution, l'équation (i) devient, après la suppression du facteur eJrdx,
(2) K + ff^ + . . .-hanrn) +. . . + «wr("-1)=o,
les termes non écrits qui suivent la parenthèse contenant tous en facteur quelqu'une des dérivées r', r", . . ., j,(-n~-^ de r, en sorte que tous ces termes s'évanouissent, comme anj'^n~i\ lorsqu'on attribue à r une valeur constante
L'équation (2) est d'un ordre moins élevé que la proposée, mais elle n'est plus linéaire. Elle peut servir cependant à trouver des intégrales particulières de la proposée, toutes les fois que son
premier terme
û0 + «!/■••!-... + an r" = f{r)
s'évanouit, quel que soit x, pour certaines valeurs constantes de r, c'est-à-dire lorsque l'équation
admet des racines constantes rf, r2, .... Ces valeurs seront, en effet, des intégrales particulières de l'équation (2), et, par suite,
y1 =z er'x, y2 — er*x,
seront des intégrales particulières de l'équation (1), au moyen desquelles on pourra abaisser l'ordre de cette équation [881], en lui conservant la forme linéaire.
Soit, par exemple, l'équation
l'équation (3) correspondante
ABAISSEMENT DE L'ORDRE DES ÉQUATIONS. 4of)
admet la racine j\,=.j, d'où il s'ensuit que la proposée admet l'intégrale particulière yK — ex.
874. IV. .Equations homogènes par rapport à x, y et à leurs différentielles dx, dy, d'2y, . . . , dny.
On peut dire encore que ces équations sont homogènes lorsqu'on y considère x,y comme étant du degré i, y' du degré zéro, y" du degré — i , . . . , y^ll) du degré — (/z — i).
Une telle équation peut s'écrire sous la forme
(dx y dy d\y d\r\ x'"J — , —, — , , • • • , =o.
Posons maintenant
dx 7 t y
■ — - = <y/, ou x = e, et — = z, y = e'z.
On en tire
df . dz dy dy y
— = dt -\ 5 — = — .-=;«+ dz,
ce que l'on peut écrire sous la forme
On a ensuite
y:=*.% = [j> ,+ !)«, dy = dt.{Dt+i)Dtz,
dx x
d*~ y dx* dy' dx. ,
— = — ■^■ = — dy' = dt\[Bt-+-i)'Dtz,
dx- x
Pour avoir une formule générale, considérons l'expression
v=e-kt?(Dt)z,
<p(D^) désignant une fonction entière et rationnelle quelconque du facteur symbolique D,. Comme on a évidemment
d.?(Bt)z = f{Dc)dz = dt.-Dt?(Dt)z,
on en conclut
dr==e-;'tdt.(-Dt— />-)?(Bt)z.
De là on tire
dy" = e-'dt. (D, -4- i ) D, (D, - i ) z,
d'où
C^ = [ — Yxdj''=dâ(r>t+t)Vt(I)l-l)z,
et de même, en général, comme il est aisé de le vérifier,
-^ = dtn.{J)t-+-i){J)l + o)(D,— i) ..". (D,— ii.-f-3)(Dt— 1S+.2)*.
Si l'on emploie la notation des factorielles [Livre I, Exercices, p. 2^3] en posant
r~ = r[r — i) . . . (;• — n -+- i), on pourra écrire la valeur précédente sous la forme abrégée
dnY , , 1 n
— J~ = dtn. D/H-i )-z.
On en tire
(n)= rd^y^ e-(n-i)t, (D + ,^s.
d'où
En substituant maintenant dans l'équation proposée ces valeurs de
dx y dy dn y
— -? '—•> —j •••? — — 5 on obtiendra une équation dans laquelle
(après la suppression du facteur x7") la variable t n'entrera plus que par sa différentielle, et dont l'ordre pourra s'abaisser d'une unité, d'après ce que nous avons vu dans les nos 871 et 872.
Exemples. — i° L'équation traitée au n° 873,
x*d%y -4- x.dxdy — ydx- — o,
OU
x- y" + xj ■' — y = o,
étant homogène par rapport à x, dx, y, dy, d-y, deviendra, par les substitutions précédentes, en divisant par e( ,
(D,+ i)Dla-t-(D,+ i)a--*=o1
