ABAISSEMENT DE EORDRE DES ÉQUATIONS

c'est-à-dire

ou, en multipliant par dt,

dz' '+ iz'dt = o,

par une nouvelle intégration, on a, en remplaçant par C,,

d'où

1° Soit l'équation

nx% d* y = [ydx — xdfV, ou n — — = ( ■ — — ) •

On en tire

?idf- [z" + z') = [zdt — [zdt + dz)]*, ou n (-." -f- z') — z'2, /z — — = z - — n z , d ou dt = —

ji dx xdz

Cr,

xlog-

dt z"l—nz

, z' — n n n dt „ ,

' = los-c— ' 7 = ^='-c"'

ou, en mettant pour ec et dt leurs valeurs x et — •>

ou enfin

Autrement, en employant la transformation du n° 872, on aurait pu mettre l'équation n(z"-{- z') = z''2 sous la forme

n — - — = z l — n z , dz

ou, en supprimant la solution z'= o (qui correspondrait à une intégrale particulière, pour C2 = o),

ndz

dz= —,

4l2 LIVRE IV. — CHAP. III, § II.

On en tire

ou, en posant e " = u,

ndu

de = — -, : 5 etc.

875. V. Equations qui deviennent homogènes, lorsqu'on y considère x et dx comme des quantités du premier degré, et. y et ses différentielles dy, d2y, . . . , dny comme des quantités du degré (x.

Cela revient à considérer y comme une quantité du degré y., y' comme étant du degré p. — i, . . . , y(-n'> comme étant du degré a — n .

L'équation peut s'écrire sous la forme

mf(dx y dy dny

\ x xr x^ X'x

Posons, comme précédemment,

dx y

— = dt, x = e , — = z, y = e^z.

On en tire

dj , dz ,, dy I dz\ . , . ,

— — y. rf« + — , d OU — = <r/f Uz + — - = dl[ D, + u) Z,

dx x?-

„d'où, en vertu de la formule générale démontrée dans le numéro précédent,

—£ = —.'¥- = e-tï-Wdt*. eit-W (D, -4- u) (D,+ /* — i)z

,r;A .r!A dx v

En continuant ainsi, on trouvera généralement

Z = <ft»(D/-t-fi)(D(4-ft— i)...(D,H-«- »+ i)z

= ^"(Di-l-ia)1-s,

ABAISSEMENT DE l'c-RDRE DES ÉQUATIONS. 4l3

d'où

Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation proposée, on arrivera, comme dans le cas précédent, à une équation ne contenant pas explicitement la variable indépendante t, et par suite susceptible d'abaissement.

Exemple. — Soit l'équation

x* d^y = [x% + 2.xy) dxdy — ^.j3dx2,

ou

<r-v l r\ dx dr , r2 dx?

qui est de la forme ci-dessus, pour p. = 2. La transformation

donne

lD,+2)(D,+ i)s = (n-2a)(Dt+a)* — 4z2,

r/'+ 3z' -h 2a = (i -h az) (.:' + aa) — 4s2,

ou, en employant la transformation du n° 872 et divisant par zf, ce qui revient à mettre de côté l'intégrale particulière z' =. o,

dz'

dz

d'où l'on tire

r diz— 1 1

2 3 + C, « + C = J : / = — arc tang — ^.->

expression qui deviendrait un logarithme pour G <^o. On en tire

z — 1 = ^C tang (f + C ) v/'C, ou, en faisant C'= logC(,

j = x2ji + v/Ctang[y'C(IogC1jr)]j.

4l4 LIVRE IV. — CHAP. IV, § I.