THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ENTRE DEUX VARIABLES

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE CES ÉQUATIONS.

876. On appelle équation différentielle linéaire une équation différentielle dans laquelle la fonction inconnue et ses dérivées des divers ordres n'entrent qu'au premier degré et sans être multipliées entre elles.

Soit y le signe caractéristique d'une fonction rationnelle et entière de degré 7i, à coefficients a0, as, . . ., an constants ou fonctions de la variable x. La forme générale d'une équation différentielle linéaire de l'ordre n, entre deux variables x ety, sera

? ( D*) j = a0 y + at Bxj + . . . + an D%y — x,

X étant une fonction quelconque de x ou zéro.

Dans le cas où le terme X, indépendant dey et de ses dérivées, se réduit à zéro, l'équation, qui devient alors

est dite une équation différentielle linéaire homogène ou sans second membre.

877. Une fonction yt de x, sans constante arbitraire, qui, substituée à y dans l'équation différentielle (i), rend le premier

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 4l5

membre de cette équation identiquement nul, est dite une intégrale particulière de cette équation différentielle.

Les propriétés principales des équations différentielles linéaires sans second membre sont exprimées par les propositions suivantes, dont les trois premières se vérifient immédiatement par simple substitution.

I. Sij-, estime intégrale particulière de l'équation (i), le produit Cj'i de cette intégrale par une constante quelconque sera aussi une intégrale de cette même équation.

II. Si y\,yi, ■ ■ ■ sont diverses intégrales particulières de l'équation (i), leur somme j , -\-y%-\-. ■ . sera aussi une intégrale de la même équation.

III. En combinant les deux propositions précédentes, on en conclut que, sij^i, y>2, ... sont des intégrales particulières de l'équation (i), et C,, C2, . . . des constantes quelconques, la somme

Ci-<ri + ct->j-+-.. .

sera encore une intégrale de l'équation (i). 878. IV. Soient

(2) J'i, J2, - • ., Xn

n intégrales particulières de l'équation (1). D'après ce qu'on vient de voir, la somme

(3) J = C1r1+Clj-2-f-...-!-C„j„

sera une intégrale de l'équation, renfermant n constantes arbitraires. Ce sera, de plus, l'intégrale générale de cette équation si les fonctions yt, y 2, • • -,yn sont telles que, pour une valeur quelconque attribuée kx, on puisse déterminer les n constantes Ci, C2, .-., Cn de manière à faire prendre à y et à ses n — 1 premières dérivées des valeurs arbitraires, c'est-à-dire si, pour toute valeur de x, on peut tirer des n équations

(y =Cljri +C2J2 +... + C»jB,

,n y =cl7; +cay, -+-... +cn/H1

4l6 LIVRE IV. — CHAP. IV, § I.

des valeurs finies et déterminées des inconnues

Cj, Co, . . . , La.

Pour cela, il est nécessaire et suffisant que le déterminant

Ji Ji