J II

ne s'annule pas identiquement, quel que soit x.

Si l'on désigne par Yj-''^ -r— ^ le coefficient dej r%] dans la valeur de R, les valeurs des inconnues C/f seront données par les équations

S) HC/c = Y/cy + Y7ty

ïr1'^»-", (/■=!, 2,

879. S'il existait entre les intégrales particulières (2) une relation linéaive quelconque à coefficients constants, c'est-à-dire une relation identique de la forme

a,, a2, ... étant des constantes, alors une des lignes verticales de R serait formée par l'addition des produits de plusieurs autres lignes verticales, multipliées respectivement par des facteurs communs. Donc alors ce déterminant serait nul, et l'expression (3) ne serait plus l'intégrale générale de l'équation (1). Nous dirons, dans ce cas, que les intégrales particulières (2) ne sont pas distinctes entre elles.

On voit d'ailleurs aisément que, en vertu de la relation (6), l'équation (3) se réduit à

■>'=(c'-s4ri+(c*-?c')^+---'

expression qui ne renferme plus, en réalité, que n — 1 constantes arbitraires, c'est-à-dire moins que n'en doit contenir l'intégrale générale.

880. On peut arriver, par la considération du déterminant R, à démontrer qu'en général la condition nécessaire et suffisante

pour que les intégrales particulières (2) soient distinctes est qu'il n'existe entre elles aucune relation linéaire identique, de la forme (6).

En effet, si les intégrales ne sont pas distinctes, auquel cas le déterminant R est nul, on sait qu'alors les équations

unXn

xT

"nj a

sont généralement compatibles entre elles pour des valeurs des inconnues u{, u<±, . . . différentes de zéro, et que, de plus, ces valeurs sont proportionnelles aux déterminants partiels de R relatifs à une ligne horizontale quelconque, à la dernière par exemple, de sorte qu'on a

"1 : ui '■

y(-'î— l). -Yt/i-l)

Différentions maintenant chacune des équations (7), en ayant égard à celle qui la suit ; il viendra

unXn u'nX'n

\.<xr2)-

'Axir2)

«^-"-f-^jf-1;-

«ijf1

-hVnXW =0.

Or, si l'on différentie la valeur de R, on voit que la dérivée DXR se réduit à

xT

xf

vrvx

(n) , -yln- 1 "+■ X2

-iy»>

et, cette quantité étant nulle, puisque R est supposé s'annuler quel que soit x, on en conclut, en vertu des proportions (8), que H. — Cours de Cale, infinit., II. 27

4l8 LIVRE IV. — CHAP. IV, § I.

la seconde ligne

"ijïl)+«2r(2ra5+

de l'équation (10) est nulle. En supprimant donc cette seconde ligne, les équations (9) et (10) forment alors un système identique à celui des équations (7), d'où il résulte que les inconnues u\, u'2, ..., u'n sont proportionnelles aux inconnues ui} u2, ..., un. On peut donc poser

d'où l'on tire, en intégrant, et désignant par a1? cc2, . . ., <xn des constantes,

«! = «1 eftdx, «2 = «2 ef?dx, . . . , un = «n e^dx.

En substituant ces valeurs dans la première des équations (7), et supprimant le facteur e^dx, qui n'est pas nul, on a l'identité

(6) «i.7i+ «sJs -4- ■•■-+- ««J«=o,

qui est une conséquence réciproque de l'hypothèse R = o.

Donc l'identité (6) exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les intégrales particulières (2) ne soient pas distinctes entre elles.

881 . V. Si l'on connaît une intégrale particulière de l'équation (1), cette intégrale étant supposée autre que zéro, on pourra, par son moyen, ramener l'intégration de l'équation (1), ou, plus généralement, celle de l'équation

à celle d'une équation de même forme, mais d'un ordre inférieur d'une unité.

Soit, en effet, yK une intégrale particulière quelconque, différente de zéro, de l'équation (1). Posons

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 4lg

d'où l'on tire, par la formule de Leibnitz, j' = z.Dxyt-hz'.yu

y" = *-I>!-.7l + 22'. Dx Jj + 2".J„

jCO^z.D^ + ^Dr1.

+ ^:-w(/2~1)Dr2ji^----+z-T«("-i)-.-i-D^j1.

Substituant ces valeurs dans l'équation (A), elle devient

Le premier terme du premier membre de cette équation s'évanouit identiquement, puisque yK est supposé être une intégrale de l'équation (i). Dès lors l'équation (B) ne contiendra plus z, mais seulement ses dérivées -z', z" , ..., z^ ; si donc on pose z'=s, l'équation (B) se changera en une équation en s de l'ordre n — i, et de la forme

(12) x(Dx)s = o, ou z(Dx)s=.lL.

Donc, si l'on pose y=yt fsdx, l'équation (A) se changera en une équation de même forme, relative à la fonction s, d'un ordre inférieur d'une unité, et ayant le même second membre.

Ainsi la connaissance d'une intégrale particulière de l'équation (1) permet d'abaisser d'une unité l'ordre de cette équation, ainsi que l'ordre de l'équation complète (A), en ramenant ces équations à des équations de mêmes formes respectives, mais d'ordre inférieur.

Les coefficients de l'équation transformée sont constants lorsque ceux de l'équation proposée le sont.

Exemple. — L'équation

étant vérifiée par l'intégrale particulière yK = x2, il vient, en

substituant dans cette équation l'expression u == x-fsdx, et divisant par x-,

d'où l'on tire

ds

dx

s=zCex'.

On a maintenant

donc

j = x*fs dx = C ex -+- C .r2 .

882. Il est aisé de vérifier que, si l'on prend pour s l'intégrale générale de l'équation (12), la valeur j' =jrifsdx sera l'intégrale générale de l'équation (1). En effet, z =fsdx -h C sera l'intégrale générale de l'équation en z, et l'on pourra, au moyen des constantes arbitraires, déterminer à volonté, pour une valeur donnée de x,

les valeurs de z = — et de ses n — 1 premières dérivées, d'où l'on

conclura facilement que l'on pourra aussi déterminer à volonté y et ses n — 1 premières dérivées."

Donc, en mettant en évidence la constante d'intégration, on voit que l'intégrale générale de l'équation (1) est de la forme

(i3) jz=C1J1-hfifsdx.

883. Si l'on connaît une seconde intégrale particulière jr2 de l'équation (1), alors sl = Dx— sera une valeur particulière de

5 = 0^ — 5 et, par conséquent, on connaîtra une intégrale particulière de l'équation (12), intégrale qui sera différente de zéro si

ticulières yt, jr2 ne satisfont pas à une relation linéaire à coeffi-

le rapport — n'est pas constant, c'est-à-dire si les intégrales par-

cients constants de la forme ax yK -+- oc2j2 = Q. On pourra donc alors, en posant

s = .?! Jt dx,

ramener l'équation (12) à une équation de même forme et d'ordre moindre d'une unité,

('4) ^{Dx)t = o, ou ^(D^)?z=X.

En substituant dans l'expression (i3) la valeur

.v = C2 Sj + s1 Jt dx,

et ayant égard à ce que— 2 =JsKdx, cette expression prend la forme

( 1 5 ) y = ^ jt -h C2 fi -h j, Jsv dxjt dx,

chaque signe d'intégration, dans le second membre, portant sur tout ce qui le suit, considéré comme un résultat effectué.

De même, si l'on connaît trois intégrales particulières r(,r2, ? 3 de l'équation (1), on en déduira deux intégrales particulières

Si = Dx — ■> So = Dx —

de l'équation (12), lesquelles ne seront pas nulles si les rapports

— 1 — ne sont pas constants. De ces deux intégrales on tirera une

J'i Ji

intégrale particulière tx = Dx — de l'équation (i4), et. £| ne sera

•vi

pas nul si — n'est pas constant, c'est-à-dire si l'on n'a pas

T)x — = a . Dx — , d'où j3 = «j2 -4- 8jrit

a et |3 étant des constantes, ou enfin si les trois intégrales^,, y<±, y% ne satisfont pas à une relation linéaire à coefficients constants de la forme de la relation (6). On pourra donc alors, en posant t= t,fudx, abaisser encore d'une unité l'ordre de l'équa-

tion (i4)« On aura alors, à cause de — =ft{ dx, — —fs2dx,

tz=zCztl-\-tl Ju dx, s =z C2 ^i + C3 s2 + ^i S h d.vju dx,

( 1 6 ) y = Ct y\ ~f-.G2 j2 H- C3 j3 H- jj /^i «te/Vj f/.r/« dx,

chaque signe d'intégration portant sur tout ce qui le suit.

En continuant ainsi, on voit que, si l'on connaît h intégrales particulières J\, Jïj • • •ijk de l'équation (i), et que ces intégrales ne satisfassent à aucune équation à coefficients constants de la forme <Z\ jk -h a.2y2-{-. • ■+ &kjk = o, on pourra, par leur moyen, abaisser de k unités l'ordre de l'équation proposée, et l'intégrale générale se présentera sous la forme

y = ci J i -+" C2 J2 -+- . . •• + Ck yk -4- ji fsi dxfti dxf .. ./<> dx,

v étant l'intégrale générale d'une équation linéaire sans second membre d'ordre n — A".

Si l'on connaît n — i intégrales particulières distinctes [880], on parviendra, pour y, à une valeur de la forme

y = ci Ji + c2 y 2 -+■ • • • ■+■ c«-i r«-i -+- y\ fsi d*fh djcf- • • Jw dxi

w étant l'intégrale générale d'une équation du premier ordre, telle que

(17) h0w -+- /z1h/ = o OU = X.

Cette dernière équation peut s'intégrer immédiatement et faire connaître une nieme intégrale particulière de l'équation (1), distincte des précédentes. Si l'on désigne, en effet, par

Si"*

une intégrale particulière de l'équation (17) sans second membre, w = Cn W\ sera l'intégrale générale de cette même équation; et, en représentant par jn l'intégrale particulière de l'équation (1),

J« = Ji Js^dxJtydxJ. . .Jivxdx,

on obtiendra l'intégrale générale de (1) sous la forme

(3) y= Gj ji + C2 j-2 -+-....+ Cnyn,

De même,

iv = Li «'i -h «-, / e*/ — d.x

J fh

sera l'intégrale générale de l'équation h0 w -+- 7it sv'= X, et, par suite,

J = CJj1+C2j2-f-...-!-C„j/i+j1 / 5-^.r j tldx j ... \wxdx \eJ hi X jdx sera l'intégrale générale de l'équation (A).

884. Si l'on suppose, dans cette dernière expression, toutes les constantes arbitraires nulles, on aura une intégrale particulière

Y = jj f sx dx j tvdx j . . . j «'t dx I eh> — d.x

de l'équation complète (A). On voit donc que l'intégrale générale de l'équation complète (A) est égale à l'intégrale générale de l'équation homogène (i), plus une intégrale particulière Y de l'équation (A).

On a ainsi ce théorème général :

Si Y est une intégrale particulière quelconque de l équation complète (i), et si y^ représente l'intégrale générale de l'équation sans second membre (2), la somme

sera L'intégrale générale de l équation (A).

C'est ce que l'on peut d'ailleurs démontrer directement.

En effet, i° la valeur (18) satisfait à l'équation (A), comme il est facile de s'en assurer; 20 pour x = x0, on peut, à l'aide des valeurs arbitraires des constantes, déterminer arbitrairement les valeurs de j '0) =y — Y et de ses n — 1 premières dérivées, et, par suite, aussi celles dey et de ses n — 1 premières dérivées.

Pour montrer une application de ce théorème, supposons que,

dans l'équation (i), le rapport — soit constant et = a. Si l'on sup-

posej' = Y = const. , l'équation se réduira à a0 Y= X, d'où Y== x.

Donc, dans ce cas, l'intégrale générale de l'équation (i) sera

885. Si la solution y —J\ annule non-seulement l'expression ^(Djjj), mais encore les À" — i expressions (jp'(Dx) yt, ..., <^k~ K) {J} x) y h , alors le développement de cp(Dx) (ytz) se réduira à

?'"<D*'-;' + f^imzi. D..+ . . . + ^(".ir. Dr,\ ,w>

et ce développement s'annulera pour z^ = o, d'où

z = C + Car + . . . + CC*-1)**-1.

Donc, si la solution y, satisfait aux k équations

f[Bx)y=o, ?'{Dx)r = o, ..., ?(*-V[T)x)jrz=ot cette solution fournira Ze intégrales particulières

de l'équation (i), et, par son moyen, l'ordre de l'équation différentielle pourra s'abaisser immédiatement de À" unités.

VI. Réciproquement, on voit aisément que l'intégrale générale de l'équation (i) peut toujours se mettre sous la forme (3) d'une somme de n intégrales particulières distinctes, multipliées respectivement par des constantes arbitraires.

Il suffit, pour cela, d'admettre que toute équation linéaire sans second membre de la forme (i) est susceptible d'une solution autre que zéro, ce qui résulte de ce que nous avons démontré au n°809. D'après cette proposition, l'équation (i) admet une intégrale particulière yiy au moyen de laquelle on peut mettre l'intégrale générale sous la forme (i3), s étant l'intégrale générale de (12). Cette dernière équation admettant une intégrale particulière s, autre que zéro, il en résulte une seconde intégrale particulière y2=y Kfs\dx de l'équation (1), dont l'intégrale générale prendra la forme (i5), t étant l'intégrale générale de (i4)- En continuant ainsi, on finira par mettre l'intégrale générale de (1) sous la forme (3), JTojK2 > • • •> Jn étant des intégrales particulières de (1), toutes distinctes entre elles.

Donc aussi l'intégrale générale de l'équation (A) peut toujours se mettre sous la forme

y = d/j H- Cj jrt -h . . . -4- Cnjn -h Y,

j)^, , j-2, . . . étant des intégrales particulières de l'équation homogène, et Y une intégrale particulière de l'équation complète.

887. VII. Une équation linéaire sans second membre ne peut admettre de solution singulière; car, si jK est une solution quelconque de l'équation (i), en lui appliquant les calculs des numéros précédents, on la fera entrer dans une expression telle que (3) de l'intégrale générale, et cette expression se réduira àj",, si l'on y suppose la constante C| = i et toutes les autres constantes = o. Donc la solution jK est une intégrale particulière.

888. VIII. Nous venons de voir qu'une équation différentielle linéaire sans second membre présente avec une équation algébrique cette analogie , que son ordre peut s'abaisser de k unités lorsqu'on en connaît k intégrales particulières, de même que le degré d'une équation algébrique peut s'abaisser de k unités lorsqu'on en connaît k racines.

Là ne s'arrête pas l'analogie. Il est facile, par exemple, de trouver la composition des coefficients a0, «,, . . ., an de l'équation différentielle linéaire (i) au moyen des n intégrales particulières distinctes j{i y2, . . ',y~n-

Si l'on substitue, en effet, ces n intégrales successivement dans l'équation (i), on obtient, pour déterminer les n inconnues —•>

-; les n équations

n0 , al i , , an—\ (;,-i) [«)

14 n. t( n. CI 17.

f? y J fi y' J L !λ=I yUl-l)-.__ yW

îly L fi y' 1 L ^Lli r(«-D— rf»)

d'où l'on tire, en conservant les notations du n° 878,

- R -£ =T1Vrl +T(,V.") + • • • + TW- Remarquons que, pour k = /i — i . cette formule devient

n g"-' -yO»-i)vW , v(.-î-i) v(")i r -vfn-l-) „W

c'est-à-dire [880, (ri)]

— R-^— 1=DXR, d'où -ï-±= -£-.

Réciproquement, étant donné le coefficient—"—-? on en déduit

R=:Ce J "" .

Exemple. — Former une équation différentielle linéaire qui admette les intégrales particulières

On tire de là

d'où

j\ — e*> J 2 = > i JÎ = e3!» j'2 — °'

= ex i — ar , — R — = = — ,re^, — R — =

ex i aa e* o "2 e* i

L'équation cherchée sera donc

y — xf -f- • (a? — r) j" = o.