QUI SE RAMÈNENT A CELLES-LA
889. Si, dans la transformation du n° 881, on remplace^ par une exponentielle erx, où r désigne une constante indéterminée, alors D'*..erx =zrn.erx, de sorte que l'opération D". équivaut à une
multiplication par rn, et, par suite, l'opération o(Dx) à une multiplication par le polynôme <y (r). Donc, par la substitution
y ■=. zerx, l'équation différentielle homogène
(0 ?{vx)y = o
deviendra
ce que l'on peut représenter, sous une forme abrégée, par
er*f[r -+- Dx)z=o. Si l'équation
admet une racine constante ;•,, l'équation (2) sera évidemment vérifiée par la supposition D^z-o, z = C, et, par suite, l'équation (1) admettra l'intégrale particulière
Ainsi, lorsque l'équation (3) admet plusieurs racines constantes différentes r,, 7'2, ••-, on obtiendra, pour l'équation différentielle (1), autant d'intégrales particulières distinctes
Exemple. — Si l'on propose l'équation différentielle
y — xf-h (x — i)y"=o, l'équation çp(/') == o, qui lui correspond, sera
1 — ■ xr + (.r — 1) r- = o,
d'où l'on tire les racines /'. = 1, r2 = • La racine 7', étant
constante, on en conclut que l'équation proposée admet l'intégrale particulière yK = ex, à l'aide de laquelle on abaissera [881] l'équation proposée au premier ordre.
890. En ayant égard à l'équation (3), et posant T)xz == s, l'équation (2) prendra la forme
(4) z(DjSzz(è„ + &1D,+ ... + J„1Drl]^ = o,
et, si l'on fait maintenant s = ePxw, cette équation deviendra
(5) ^[xW + ^Dx+...+ ^!MDr],=„.
Lorsque l'équation
admet une racine constante p^ l'équation (5) sera vérifiée par w = C, et l'équation (4) par s = G'ePix. Donc l'équation proposée (1) sera vérifiée par j = C'e(''i+/'i)T, c'est-à-dire pour /•=z/'j -)- pK et z — C. Il faut donc que l'on ait op (/% -\-p\) =0, et, par suite, que /', -h p\ = r2 soit une seconde racine de l'équation (3).
Réciproquement, si 7'( et 7'2 sont deux racines constantes de l'équation (3), pt = r2 — r\ devra être une racine de l'équation (6), et, par suite, e('°-/^x une solution de l'équation (5).
En continuant ainsi , on abaissera successivement l'ordre de l'équation (1) jusquà ce que l'on ait épuisé toutes les racines constantes de l'équation cp(r) — o.
Nous supposons ici que ces racines r{, /'2, . . . soient des racines simples. Nous traiterons plus loin le cas où ces racines seraient multiples.
891. Si l'équation (1) est à coefficients constants, c'est-à-dire si
JL, L, ..., ^zi sont des constantes, alors l'équation (3) aura (ln a h an
n racines constantes rt, i\, ..., r/n et, si ces n racines sont inégales, il en résultera n intégrales particulières distinctes
jt = erix, j% — er*x, . . . , yn — er«x
de l'équation proposée. L'intégrale générale de celle-ci sera donc [878]
( 7 ) y — C! e'\x H- C2 eV -f . . . 4- Cn e'«r.
Il est aisé de s'assurer que les intégrales yy, y2, ...,jn sont réellement distinctes quand les racines rt, r2, ..., rn sont inégales. Si nous formons, en effet, les équations (4) dun° 878, elles deviennent
y =d e'\x + . . . + Cn er*x,
y = r1Cler** +....+ rttCBV-*,
ou, en posant, pour plus de simplicité, ^, = G, erir, il =fi +• • ■ + ?«,
Le déterminant de ces équations
/ iv— r, r
[130] n'est pas nul, puisque aucun de ses facteurs ne l'est. Donc les intégrales particulières en question sont distinctes, et l'intégrale générale de l'équation est bien de la forme (7).
892. Pour obtenir la résolution complète des équations (8), considérons la fonction
'{p) =a0+alp
anp
■iP
et formons les coefficients du quotient de la division de cj>(jo) par p — 7', ordonné suivant les puissances de p, savoir
fl[p) = «1 -+- «2 P H" ■ • • ■+ an-\ P"-2 "r an P"~S ' i) - /z__| a3p -+-. . . + r/rtp'1-2,
?n[p) = an-
On a, comme on peut s'en assurer en multipliant ces égalités respectivement par i, r, . . .,, r*-2, rn~x , et faisant la somme, l'identité
Si l'on donne à 7' successivement les valeurs rt, r», . ... rn, s'annule, et Ion a
r1?i(p) -+-... + /^ifn(p) =
h (p) + rt ft[p) + . . . + r;'-1 y„ (p) = T '"
Si l'on ajoute maintenant ces égalités après les avoir multipliées respectivement par £,, £2> . . ., \n, et que l'on pose
les équations (5) donneront
d'où l'on tire
F(P) gi [ g, 1 | gw
?(P) P — ''l P — r1 "' p — rn
De cette identité il résulte que £<, £2> • • • > £« sont les numérateurs des fractions simples dans lesquelles se décompose la fonction rationnelle ^4- On a donc [4121
E Ffa) E FK)
valeurs finies et déterminées, quand les racines r4, z'2, . . ., rn sont inégales.
893. Si l'équation (3) a des racines complexes, l'intégrale (7) peut se ramener à la forme réelle. Considérons, en effet, deux
racines conjuguées
rt = p 4- qi, r, =p — qi.
La partie de l'intégrale (4) qui dépend de ces racines,
C±erix-h C2er*x,
pourra s'écrire sous la forme
(Ci 4- Ci)ePxcosqx-f- (Cj — C,) ieP'smqx = eP*{C! cospx 4- C" smpx),
C et C" désignant de nouvelles constantes arbitraires.
Si l'on pose
C = K cosL, C" = K sin L,
cette expression deviendra
KePx cos(q.v — L), K et L étant encore des constantes arbitraires. Exemple. — Soit l'équation
L'équation en ;■ correspondante, a24~''2 = o, a pour racines /•i = ai et 7'2 = — ai. Par suite, l'intégrale générale sera
y = C.ieax<-+- Cte-axl=C cosax -h C" sin«.r = K cos(«.r — L).
894. Si l'équation (3) a k racines égales rv = r2 = . . . = /'a, l'expression (7) aura À" de ses termes qui se confondront en un seul (Ci 4- G2 H-. . .4- Ca) e7"'^, et elle ne contiendra plus le nombre de constantes nécessaire pour représenter l'intégrale générale.
Mais, dans ce cas, la valeur 7' = j\ fait évanouir la fonction cp(/') et ses k — i premières dérivées, et l'équation transformée (2) se réduit à
erlX\ t LU i ' ^ '. n 4-. . .4- " — >-^ D"/t ?(*)= o.
L kl +(/£ + i)!^' + «! * J
Cette éc[uation est vérifiée [885] par
s(*/ = o, d'où z = C + C',r + ... + C(i-1)^-1,
et, par suile, la racine r, correspond à l'intégrale y = (G + C'a; + ." . . -h C(;— ^.r*-1 ) er*x,
qui contient le même nombre de constantes arbitraires et équivaut au même nombre d'intégrales particulières distinctes que le résultat fourni par les racines rt, 7'2, ..., /*#, si elles avaient été inégales.
895. On peut encore obtenir une autre forme remarquable des intégrales particulières distinctes fournies par une racine multiple de l'équation (3). Si, dans le premier membre de l'équation (i), on fait y = erx, r désignant une quantité quelconque indépendante de x, on aura identiquement
En différentiant cette identité k — i fois de suite par rapport à r, il viendra
?[VX)% =**(* + Dr)y(r),
Si, pour r—r^ les À" fonctions <p(/'), 9'(r)> ••■» 9(*""^-r s'évanouissent, on voit que les seconds membres de toutes ces égalités se réduiront à zéro, et par suite, l'équation (i) sera vérifiée nonseulement par la valeur yx == er^x, mais encore par les k — i premières dérivées de la valeur erx par rapport à r, dans lesquelles on fera ensuite 7'= ru c'est-à-dire que l'on aura, pour la racine r{, k intégrales particulières, en faisant r = rx dans les expressions
ôy d^~x y
J. . f}lX . .y, £],} SC ' . — -~ ryt/t 1 rtVX
896. On peut vérifier, comme au n° 892, que les intégrales particulières obtenues par les formules précédentes, dans le cas où l'équation (3) a des racines multiples, sont bien réellement
distinctes entre elles, et arriver de même à la résolution des équations par rapport aux constantes arbitraires. Soit 7% une racine A-uple. Posons
Çj = (C .-+- C'x + . . . + C^-1)^-1 ) e^x = XerrT, d'où
-~ = e'\x (/'! H- Bx ) X = rx Ç, 4- Ç2 ,
- . „ rfX
en taisant t2'= — er'x;
dx'
'. + D,)*X=7-»Ç1+2r1Ç,+ Çï,
en taisant £3 = -— - e''"*; et, en gênerai,
rf.r
erix{r-hD-cY--lX
ou
rf*-1 X
Çz, = T . , eri* =/-(/?• — i ) ... i . O'7'-1) e'V" ; dxu~l
Les équations (8) seront alors remplacées par les suivantes :
— rjÇt + 2 7-jÇ, -h Ç3 ... * -f-/|+J?x.+r
^)=/riÇ1+P~IW»Ç,H-f*7I,)rf-»Ç>+....+ 5* + >fcifc«-
H. — Cours de Calcul infin., II. 2o
Or, en différent) ant successivement l — i fois par rapport à r l'identité [892]
et faisant chaque fois r = rx, il vient, à cause de
o = f[ri) = ?'{ ri)=...= f',i:-^[r1),
p — iY
7?«(p)+7ri-fs(p)+"-+— — ri 3?«-i(p)+-^7-rT V(p) =
f \ (" ~~ 2) (" ~~ 3) n i fi
"^ T^ i ?» I Pj — f „
/"ï\,(p)+(/IV'1^(p)--+(r":Vrv(p)- r/?)
Multipliant ces égalités respectivement par £0 £2, ••■? £/;-? et les ajoutant aux égalités analogues, multipliées par h:+\, ■ ■ -, il vient, comme au n° 892,
1 (p) = ?{p)[ ; — r + ?— rrrr2 + • • • + n — rr*
>"l (P"rlj IP — }'l) P — '"A-+1
d'où L'on conclut encore que £,, . .., £#, £/f+i, • .. sont les numérateurs des fractions simples résultant de la décomposition de la
fraction — \~ •
897. On peut ramener au cas d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants certaines équations linéaires à coefficients variables, telles que l'équation
(9) aoX + «1 (K + Px) /+ «2 (K + HV+ ■ • • + «»(« + P*)*^ = o,
a, |3, a0, ax, ..., an étant des constantes. Pour cela, nous remarquerons que, la différentielle de a H- (3x étant constante en même temps que dx, si l'on prend a +• j3x pour nouvelle variable indépendante, en posant
ÉQUATIONS DE LA FORME 'LtijcXkJ^k) = O. 43.5
dkj sera le même dans les deux systèmes de variables [303], de sorte qu'on aura
J d.xk ^ rfÇ*
Donc l'équation pourra se ramener à la forme plus simple
(10) a^y 4- a^xf-h a2x2y"^-. . . + «„.r;jj (a) = o,
ou
(j> étant le signe d'une fonction rationnelle et entière.
Changeons maintenant de variable indépendante, en posant
x = ef, d'où, d.v = el dt.
On en tire [875] '
V*y = e-tDt[e-tT>tI)=e-t.^i{T>t- i) D, y = e-»'[D,- i) BtI, T>ljr = e-tDt[e-v{T>t-i)T>tjr] = e-*t(Dt-*)[Dt-i)Dtjr,
et en général, en adoptant la notation j- pour désigner la faetorielle
on voit aisément que l'on aura ou
Désignons généralement par y~(r) ce que devientda'fonction <}>(/') lorsqu'on y remplace les puissances
respectivement par les factorielles
ii ii |»
L'équation proposée deviendra
(12) ? (Bt))' = o,
ou, en développant les factorielles, et posant œ-(/') = (î)('')> (i3) $(D,)j = o,
équation à coefficients constants, comme celles que nous venons de considérer dans les numéros précédents.
Si l'on désigne donc par 7',, 7*2, • • -, rn les racines de l'équation <î>(7') = o, supposées inégales, l'intégrale générale de l'équation (i3) ou (11) sera
y = d eV + . . . + C„ ernl — d x'\ + C2 xr* + . . . 4- Cn xr».
Si i\ est une racine d'ordre de multiplicité Je, on remplacera les k premiers termes de cette expression par
(C + C^ + ...4-C^-1V'-1)e'-/ = [C + C'logje+...4-C("-1)(log.r)^-1].r'-..
898. On aurait pu traiter directement l'équation (n), sans changer de variable indépendante, en posant
D* y = [rx'~-1 -h xrBx) z = xr(T--h Dx\ z, Vxy=={r[1x''-*-i-'irx>--i-Dx-{-xrI>x)Z = xr (/- +D,j\
et, en général,
en désignant par ( — \- Dx\ ce que devient 1 — h Dx) lorsqu'on y remplace, après le développement, les puissances rk de r par les factorielles correspondantes 1 — . Par conséquent,
x"Dx-y = xr(r-hxDxfLz,
la puissance symbolique (r + xDx)~ devant être développée avant que l'on exécute les opérations de différentiation. L'équation (11) devient, d'après cela,
(l4) ^(i' + xD^rrO,
ÉQUATIONS DE LA FORME 1ctkXkyW) — O. 437
et elle se réduit à l'équation <ï>(r) = o, si l'on suppose z constant et l'équation <ï>(r) — o susceptible d'une racine constante, comme cela a lieu dans le cas des coefficients a0, a{, . . ., an constants.
Dans le cas des racines égales, on différentierait par rapport à r, comme au n° 895, l'identité résultant de la substitution y== xr,
ce qui donnerait
dr ?[xJ>x)-£. =xr[logx + Dr) *(r),
<?(*VX) ^J = *r(log* H- Dr)»*(r),
Donc, si l'on a
o = $(;-!) = <ï>'(ri)=.. .±=*(^-1)(r1),
l'équation sera vérifiée par les valeurs que prennent, pour r~i\, la fonction j' = xr et ses h — i premières dérivées par rapport à r.
899. 'Considérons encore l'équation (i4)- Remarquons que l'on peut développer la fonction y(r-\-xDx) par le théorème de Taylor, comme il est facile de le voir par des identités algébriques. On aura ainsi
?(r + .rD,) = ?(r) + ^xDx+-...+ ?-^J^D- (1).
En y changeant les puissances de r en factorielles, et désignant
par a>~(7') ce que devient cpW(r) par ce changement, l'équation (i4) prendra la forme
Si, pour r — r^ , on a à la fois
