Exemples. — I. Soit l'équation

— 2 1 oj + goxj' — iSx^j" -r- x% y'" — o. On aura

y (rj = — 210 -t- go/' — ior 4- r — — 210 -4- 107 7' — ior -)-r\

Il |2

y- (r) = go — 3o7*-f- 3r = 90 — 33 r -j- 3r2,

L'équation <p (r) = o admet la racine r=5, qui annule aussi <p~(/') et ffi-^'). L'équation (i4) se réduit donc à

B%z = o, d'où z=:C + C^ + C".r2,

et, par suite, l'intégrale générale de la proposée est

j — C.r54- Cxs-+- ÇJ'.tP.

Si l'on avait pris, parmi les racines de ^ (/') = o, la racine r = 6, qui annule aussi cf>-(7-), l'équation (i5) serait devenue

(3 + a?Da.)*" = o,

d'où

x*z" = const.,

ÉQUATIONS DE LA FORME ~LakXkyW = O. 43o,

et par suite

ce qui aurait encore donné la même valeur de y. II. Soit encore l'équation

2(1 — x] y + (.r2 — 2) y' -f- x (2 — x) y" = o, que l'on peut écrire sous la forme

, N x- — 1 2 — x 2 ( I — x) . y H • xy' H- . x% y" ~ o .

On a ici

= — \ix(i — x) — (l->-x — x2 ) r -+- 1' 2 — j?) r~ 1 ; .r

l'équation cp~( 7") = o admettant la racine constante r = 2, nous poserons^ = x2 2. On a maintenant

d'où l'équation transformée

T6 — bac -\- x% 2 — r „„ „~|

dx = o,

laquelle donne

et par suite

y = Cex-hC'x2

PASSAGE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES SANS SECOND MEMBRE AUX ÉQUATIONS LINÉAIRES COMPLÈTES.

901. Nous avons démontré [884] que l'intégrale générale d'une équation différentielle linéaire complète

s'obtient en ajoutant à l'intégrale générale j^ de l'équation homogène

une intégrale particulière quelconque Y de l'équation (1). Il s'agit de trouver les moyens d'obtenir cette intégrale particulière.

Remarquons d'abord que, si le second membre X se décompose en plusieurs parties, de sorte que l'on ait X— X4 -j- X2-h • • -, on obtiendra une intégrale particulière de l'équation (1) en faisant la somme Y = . Y1 -h Y2 4- . • • des intégrales particulières Y,, Y2, ... des équations

y(D;e)T1 = X1, y(Da.)Y2 = X1, ....

On pourra ainsi, dans plusieurs cas, simplifier le problème par la décomposition du second membre en plusieurs termes.

Examinons d'abord plusieurs cas particuliers importants, dans lesquels la détermination de l'intégrale particulière peut se faire par des moyens plus simples que les méthodes générales.

902. Supposons que l'équation proposée soit à coefficients constants, et que le second membre X contienne un terme de la forme a.eXx, a et X étant des constantes. En posant y = zerx, l'équation à laquelle il s'agit de satisfaire sera

:D,)[«-) = ^-[rW+^D. + ...+ î!^lDs].= «

Si çp(À) n'est pas nul, il est clair que cette équation sera vérifiée

en posant

D^ z = o, r = À, et y(/).s = «.

ÉQUATIONS LINÉAIRES COMPLÈTES. 4{l

Donc on aura l'intégrale particulière

Mais, si A est une racine À-uple de l'équation 9(7') = o, c'està-dire si le second membre est une intégrale particulière d'ordre k de l'équation (2), alors, ç(X), ç'(X), . .., y(*-0 (X) étant nuls, on pourra supposer D* £ constant, avec 7' — X, d'où

En intégrant À" fois, et supprimant les constantes arbitraires qui se retrouvent dans l'expression de l'intégrale générale j l0), on aura

d'où

Y — Ax

903. Si le second membre est de la forme a s°„(|3.r -h y), on le décomposera en termes de la forme hér$xi, et l'on sera ramené au cas précédent.

Ou encore, ce qui revient au même, on fera, dans l'équation (1),

Y = p cos ( |3.r -+- y ) -+- q sin ( fix -+- y ) ,

et l'on calculera les coefficients indéterminés p et q en identifiant les deux membres. Remarquons que, si le second membre se compose d'un seul terme, a cos([3.r -f- y) par exemple, et que tous les termes du polynôme y(Dx) soient de même parité, on pourra poser simplement y = p cos ((3 x -+- y) si ces termes sont d'ordre pair, et y = q sin([3x -+- y) s'ils sont d'ordre impair.

Si ±j3i était racine de l'équation 9(7*) = 0, de l'ordre de multiplicité k, on remplacerait/? et q par pxk, qxk. Ainsi, si l'on

donne l'équation

y + iy" ■+- jIV — cos.r,

on posera y ■=■ px% cosx, et l'on trouvera

p = — -j' d'où Y = — -x^cos-r.