ÉQUATIONS LINÉAIRES COMPLÈTES

que A^ = o pour p ^> A,

«o =«0Ao -t~ A «i Ax -4- . . . -+- À <?>. Ai,

d'où l'on tire successivement A7, Av.,, . . ., A0.

Si les k premiers coefficients a0, a{, ..., <2^j sont nuls, on prendra pour Y un polynôme de degré X -h k, et l'on trouvera les équations

«x-i — ( A -+- X- — i ) a,. Ax+/,, -!- ( À -+- /c ) ' Aî.+a,

«0 = a ak Ak 4- ( A H- i ) tf/,+1 AA.+1 4- . • • -f- ( >. -+- k ) ax+Je Aw,,

les coefficients A0, ..., A#t pouvant être pris à volonté, par exemple égaux à zéro.

Si X contient des exposants non entiers, par exemple s'il y a un terme de la forme ax1, A étant fractionnaire ou incommensurable, on posera y = xx X un polynôme entier, et l'on opérera comme précédemment.

906. On peut ainsi, dans certains cas, trouver une intégrale particulière de l'équation (i), lors même qu'on ne saurait pas trouver l'intégrale générale de l'équation (2). Soit, par exemple, l'équation

2 y -+- ( 5 -f- x) j' + xy" — i -f- x~.

En posant j' — A0-f- Atx -h A2 x2-\~. . ., et substituant cette valeur dans l'équation, on trouve, par l'identification des termes affectés des mêmes puissances de x dans les deux membres, les équations de condition

2A0-|- 5Aj = i, 3Ai -f- 12A9 = o, ^k% — \, les coefficients A3, A4, . . . étant nuls. On en tire

A0=3, A, = — t, A, = |, d'où r= 3 — ar + yx%.

907. Dans les cas où ces méthodes particulières ne sont pas applicables, on a recours à des méthodes générales, au moyen desquelles on peut, par de simples quadratures, déduire de l'intégrale générale de l'équation privée de second membre une intégrale particulière de l'équation complète.

I. Méthode de d ' Alembert. — Nous avons vu [881] que. étant donnée l'équation

(i) y(Dar)r=x,

on peut, au moyen de k intégrales particulières de l'équation

(2) ?(Dx)y = o,

abaisser l'ordre de l'équation (1) de k unités. Si l'on connaît l'intégrale générale de l'équation (2), c'est-à-dire si l'on connaît les n intégrales particulières distinctes qui la composent, on pourra donc abaisser l'équation (1) au degré zéro, c'est-à-dire l'intégrer complètement.

Il suffira même de connaître n — 1 intégrales particulières distinctes de l'équation (1); car on pourra alors abaisser son ordre à l'unité et la ramener à une équation de la forme

(h0-i-k1T>x)<v = X, équation linéaire du premier ordre que nous savons intégrer [821]. Exemple. — Soit l'équation

L'équation sans second membre correspondante sera

Cl} y -\-y" = 0,

laquelle admet pour intégrales particulières [893]

yx = cosa.r, y* = sin#.r.

Posons [883]

y = cosax. Jsdx,

d'où

y' = — a smax. fsdx ■+- cosax.s,

y" ■— — a?cosax . Jsdx — o.asmax .s -i- cosax .s' .