ÉQUATIONS LINÉAIRES COMPLÈTES
L'équation deviendra
— la sina.r .s -h cosax .s' ==. X.
De l'intégrale particulière y2 on peut maintenant tirer une intégrale particulière de l'équation sans second membre
— la sin a x . s -+- cos a x . s' = o,
savoir
st — Dx ^^ = Dx timgax = — •
j\ cos^ax
On posera alors
s = — / tdx, d ou s = . . . -t- — t,
cos^ax u cos^ax
— - — *=:X, t—— "X. cosax, cos~ax a
s ■=. - f X cos a x dx,
cos- ax"
y — COS
r dx . r
a x I — / X cos a x dx
J cos^ax^
timgax r = cos«.r I J jLcosaxax J smax .Xrfr
= Cj sin«a '-hC2 cosa.r-1 (sin#,r/'X cosa.rrZj: — cosaxfX sinaxdx)
908. II. Méthode de Lagrange, ou méthode de la variation des constantes arbitraires. — Représentons par
l'intégrale générale de l'équation (2), et proposons-nous de représenter l'intégrale générale de l'équation (1) par une expression de même forme, en y remplaçant seulement les constantes Q par des fonctions ui de x, convenablement choisies. L'expression ainsi obtenue,
(4) y — lurc,h
renferme n fonctions indéterminées ut, u2, . . ., uH, assujetties à la seule condition que cette expression (4) satisfasse à l'équation (1). On pourra donc soumettre ces n fonctions à n — 1 autres conditions arbitraires, qu'il conviendra de choisir de manière à
simplifier autant que possible les calculs. Pour cela, on fera en sorte que non-seulement r, mais encore ses n — i premières dérivées soient de même forme que si uK , . . ., un étaient des constantes. Les n — i conditions en question s'obtiendront alors en égalant à zéro les parties des dérivées y', y", • • •> y(-n~y'i qui proviendraient de la variation de ut, u2, • • -, un. On aura, de cette manière, les deux systèmes d'équations
— 2 ut
Vi,
Vi ,
= ~L ut
— 2 ut
vr
— 2ut
vf]
Vi-,
vf
En substituant les valeurs (5) dans l'équation (i), et ayant égard à ce que les m satisfont à l'équation (a), il vient
(7) 2ii^M = X.
et cette dernière équation, jointe aux équations (6), déterminera pour u\, n,, . . . , u'n des valeurs finies, puisque le déterminant
de ces équations n'est pas nul, la valeur (3) étant supposée l'intégrale générale de l'équation (2) [878].
. . , . . dR ,
Si l'on désigne par R; le déterminant mineur ln l)i les equa-
uni
tions (6) et (7) donneront
vf
