ÉQUATIONS LINÉAIRES COMPLÈTES. 4Î
Donc l'intégrale générale de l'équation (i) sera
2 Ci Tii + 2 Tdi / r x ^
et l'on reconnaît immédiatement qu'elle est de la forme (3) du
Exemples. — T. Nous avons déjà vu [822] l'application de cette méthode au cas particulier de l'équation linéaire du premier ordre.
II. Prenons le cas de l'équation à coefficients constants; en nous reportant aux notations précédentes, on voit que, si l'équation en r a ses racines inégales, le système des équations (6) et (7) ne sera autre chose que ce que deviennent les équations (8) dun° 891 lorsqu'on y remplace respectivement
par
erix u\, er*xu2, ..., ernx un, 0,0, ..., X.
On aura alors
F(p) = X, d'où e'\ x ut = -f- — - •
L'intégrale générale de l'équation (1) sera donc
S'il y a une racine double, i\ = r2, soient ai} dx les numérateurs
des fractions simples provenant de la décomposition de — — - et
?{p) ayant pour dénominateurs p — rt et (p — 7*i)2- On trouvera,
comme au n° 896,
( u^ -h u'a x ) eri x = «iX, u' erix = d X, d'où
«'.,= a'lc~rixX, ^\ = («j — a't x) e~'rix'X..
On verra de même, quel que soit le degré de multiplicité des racines, que le calcul se ramènera toujours à la décomposition
de — - -r en fractions simples.
909. Si l'on connaît seulement k intégrales particulières rM, 7j2, . . . , yj* de l'équation (2), posons alors
luiiii, {i — i, 2, . . ., /■).
On a ici k fonctions inconnues, devant satisfaire à une seule condition donnée, l'équation (1), et entre lesquelles on pourra, par conséquent, établir k — 1 relations arbitraires, que l'on choisira comme ci-dessus, en exprimant que les k — 1 premières dérivées de y conservent la même forme que si ux, z<2, . . . ,11^ étaient des constantes. On aura ainsi
y'—lu^!: ,
y"~ 2 uro'i ,
x('^) = 2urcl^i)^-i2ui-nt)^-2uL^rl\
.0 = 2 Ut 1)i,
tfc-2)
En substituant les valeurs (9) dans l'équation (1), et ayant égard à l'équation (2), à laquelle satisfont les m, il vient
| 2 [ak ,{*-" + 2^,+I ,f + ...+ („* + ,), «.^-"K
2[ak+1^~l)
Si l'on fait maintenant
r ÏJ,
Pi
dR R,.= ,
Ope
ÉQUATIONS LINÉAIRES COMPLÈTES. 44g
la résolution des équations (10) donnera
r7 = ïï; = " ' = R^ = "'
v désignant la valeur commune inconnue de ces rapports égaux. Substituant les valeurs R/t> des quantités ui dans l'équation (n), cette équation se changera en une équation linéaire en v d'ordre n — k et de même type que l'équation (i). Si l'on intègre complètement cette équation, on aura alors
u{ = J Rj v d.r, . . . , iij. =y R/t. v dx, d'où
y = rn f Ri (< (/.r + ...+ O/cJ'R-k*' d-r-
910. III. Méthode de Caucliy. — Déterminons les constantes arbitraires C|, C2, . . . , Gn que renferme l'intégrale générale yj de l'équation sans second membre (2), de manière que, pour x = a, on ait les équations
(12) ï?=0, ïj'=0, ..., v(*-i)=o, y(H-V =/(«),
y (a) étant ce que devient X=y*(.r) lorsqu'on y remplace x par une variable a, indépendante de x. On obtiendra ainsi pour Cl? . . . , Cn des valeurs en fonction de a, et l'on peut remarquer que, les équations (12) ne différant du système des équations (6) et (7) que par le changement de x en a, les valeurs de C| , . . . , Cn seront les mêmes que celles que l'on a obtenues pour u'1} . . . , un, dans le n° 908, au changement près de x en a.
Substituant pour C|, ...,Cn ces valeurs dans l'expression de l'intégrale générale m, on obtiendra une intégrale particulière r,a de l'équation (2), laquelle intégrale sera une fonction des deux variables indépendantes x et a. Cela posé, je dis que
rx
fx
sera une intégrale particulière de l'équation (1).
En effet, par la règle de la différentiation sous le signe/ [470], on a
dY Çx (h âx ~ Jo ÔJ
de/. + Ua)a=x,
H. — Cours de Cale, i/ifi/i., II. 2Q
45o LIVRE IV. — CHAP. IV, § III.
(ya)a=x désignant ce que devient r,a lorsqu'on y fait a. =x. Or cette valeur est nulle, d'après la première des équations (12), qui exprime que ma est nul pour x = oc, quel que soit a, et par suite aussi lorsque, après avoir fait a: = ce, on y remplace partout oc para:. Donc
dY àx
■ Jo °x
On trouverait de même, en vertu des autres conditions (12
: / av., .... — = I — • av.,
J0 dx* ' dx*-> J0 dx-'
— — ■ = / — • du. -+- / (x .
dx'1 J0 dx" J l ;
En substituant dans le premier membre de l'équation (1) ces valeurs de Y et de ses dérivées, on trouve
d'ia. dnr,a\ . ,
Or la quantité entre parenthèses s'évanouit identiquement, puisque -/}„ est une intégrale particulière de l'équation (2). Donc ce premier membre se réduit kfi^x), et, par suite, la valeur (i3) satisfait à l'équation (1), dont l'intégrale générale sera alors
911. Appliquons cette méthode à l'équation à coefficients constants, dans le cas des racines inégales. On peut mettre son intégrale générale sous la forme
■a = d e'\(x-aî + . . . + Cner»lx-*\
et alors les équations (19) deviendront
Ci -+- . . . -+- Cn = o, r, C1+...+ rn Cn = o,
rr2C1+ ... +rr2C„ = o, /•r1^ -h... +r'!rlCn =/(«),
EQUATIONS LINÉAIRES COMPLÈTES. \5i
d'où l'on tirera, comme ci-dessus,
Cz- Donc
et, par suite,
T — y-77-T / e"-iafU) du,
ou, ce qui revient au même,
enx nx
Y=> — — -N 1 e-'^Xdx, ** ?'[>ï)Jo
ce qui donne la même valeur dey qu'au n° 908.
En général, il est aisé de voir que la méthode de Cauchy ne diffère de celle de Lagrange que par l'exposition, et qu'elle conduit aux mêmes calculs.
Considérons, par exemple, l'équation
L'intégrale générale de l'équation sans second membre correspondante peut s'écrire ainsi :
■ft = Ct cos« (,r — a) -+- C2 sin« [x — « ). Les équations (12) deviennent donc
Cj = o, aC,=/(«), d'où
î/„ = — Sltlrt ( X — « ,
et, par suite,
Y = - ! /(a) sinar (.r — a) d«, J o
ou, en développant,
cosa.r T-r . siritf.r; Z1*
Y = / X snirt.r «,r + I X cosr/.r </.«:,
" Jo « J0
comme au n° 907.
Si l'on suppose, en particulier, X = sin(gvr -f- h), on aura
i rx .
Y = - I sin ( gv. -f- h ) sin a[ x — a ) dv.
i rx
= — f | cos[(g- + «)«+/)- ax] — cos[(g — a) a -h h -h ax]\dv.
J Vs\n[gx -f- h) -+- sin(a.r — h ) sin [gx H- h) — sin [et x -f- h )1
la L a + g a — g J
i . , , > ffcos/i . sin^
= —, :> Sin [gx + //] t-^ rr sin«.r cosax.
On peut faire abstraction des deux derniers termes, qui se réunissent aux termes semblables de l'intégrale générale de l'équation sans second membre, n = Cj sin«x + G2 cos^jc, et prendre simplement
Y = — ; sin f sx -f- h ) .
Dans le cas de g — a, il viendrait
Y= — - / [cos ( i a a -f- h — ax) — cos [h -f- ax)]dx
'£ Cl j ** o
i f si a [ax -4- h) -+- sin (ax — h) , ~\
= — — .rcosfà 4- ax) ,
la | la v yJ
ou, en négligeant les termes qui rentrent dans ceux dey;,
Y = — — cos [ax -\- h).
§ iv.
INTÉGRATION DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES AU MOYEN DES INTÉGRALES DÉFINIES.
912. Nous allons indiquer, dans ce paragraphe, l'application à quelques équations importantes de la méthode d'intégration due à Laplace et fondée sur l'expression des fonctions sous forme d'intégrales définies ( ' ).
(') Voir le travail récemment publié par M. S. Spitzer : Vorlesungen ïibcr lineare Differential-Gleichungen. Vienne, 187S.
Nous nous occuperons principalement de l'équation linéaire du second ordre
( i ) («0 -f- b0x)jr + [ax -\-~bxx) y' + (a, + &2 ,r ) y = o,
rt0, ^o> fti» b\i a2i i>i étant des constantes.
La méthode de Laplace consiste à chercher à vérifier cette équation par une expression de la forme
(2) y— j euxUdu,
U désignant une fonction de u encore indéterminée, ainsi que les limites constantes uh, u2 de l'intégration.
Si l'on substitue la valeur (2) dans l'équation (1), et que l'on pose, pour abréger,
P = fl0 + fl, fl + fl2 U2,
Q = b0 -+- &! u -+- b2 ^*2, l'équation deviendra [470]
(3) f 3(V-hQx)euxUdu = o.
En intégrant par parties le second terme de cette équation, elle prendra la forme
[QUe"*]|; -hfeux [PU — D„ [QU)]dit = o,
et cette égalité devra être identiquement véi^ifiée. Il suffira, pour cela, que la fonction U satisfasse à l'équation
(4) PU du — d{QU) = o,
et qu'en même temps les deux constantes ut, z/2 soient choisies de manière que, substituées à u, elles vérifient l'équation
(5) QUe"v=o.
L'équation (4) donne
!r\ tt ! f*d"
(6) U=Qe
454 LIVRE IV. — CHAjP. IV, § IV.
ce qui changera l'équation ( 5 ) en
et, en résolvant celle-ci par rapporta u, si l'on trouve deux valeurs indépendantes de x, on les prendra pour ut, u*. On aura alors
(8) J= j-e ■>« du.
9'i 3. Pour pousser plus loin les calculs, il faut d'abord obtenir
l'intégrale / — du. Or, suivant la nature de son dénominateur, la
fraction
P a0 H- <7, u -+- <72z/- Q ù0 H- bl u -+- />,«2
pourra se mettre sous Fane des quatre formes suivantes :
'III
[u — y.) nu ~\-
(IV) - = a0 + «, u -+- a2ir,
la première ayant lieu si Q = o a ses racines inégales, la deuxième si Q = o a ses deux racines égales, la troisième si b2 = o, la quatrième si Q est constant.
914. ï. Considérons le premier cas. En introduisant au lieu de qQ, ai} a2, ... les nouvelles constantes m, A, B, a, (3, l'équation (ï) deviendra
j [— A|3 — B« H- aj3(w -h x]\y
^' \ +[A + B-(« + |6)(»H-.r)]r' + (ffl + .r).)/'-o.
On trouve d'abord
- du = mu ■+- A log ( u — a) 4- B log ( u — (3
D'ailleurs, à cause de
l'équation (6) donnera, en négligeant le facteur constant b2 [877, 1], \J = emu(u — a)A-' ( z< — S)R-],
et l'équation (7) deviendra
eH(/«-KT)|H __ a
Si maintenant A et B sont des nombres réels positifs ou des nombres complexes à partie réelle positive, c'est-à-dire de la forme p- ±ic/~, on pourra prendre
a, = k, «2 = |3, d'où
(11) r= I ' <?"('"+*) [u — y. )A-* [x—p f~x du.
de/.
On peut développer aisément cette expression en série, en s'appuyant sur la formule (6) du n° 487, et, si l'on pose, pour abréger,
(|3 ' a) (m -1- j?) = Ç, A + B = K, on obtiendra la série suivante, convergente pour toute valeur de x :
— ct. (m+x)
^ A „ A(A -h 1) V , A ( A + 1 ) ( A -+- 2 ) ?3 1 + RÇ + K(K + 1) aï + Kl IL -h il (K + 2) 3l +
915. Si A et B sont des nombres réels, entiers et positifs, on pourra obtenir dans ce cas l'intégrale sous forme finie. En effet, X étant indépendant de u, on trouve, à l'aide de l'intégration par parties,
c v / \ , v r?(") ?'{") ?"iu) 1
expression qui aura un nombre fini de termes si 9 (m) est une fonction rationnelle et entière. Si donc on fait
