L.=„(««,rjia ■a
la valeur (n) àej deviendra
(i3) J=J2— II-
Nous allons maintenant faire voir que chacune des expressions^, , y o satisfait séparément à l'équation (9). En effet, en substituant tour à tour ces valeurs kj dans le premier membre de cette équation, on obtiendra évidemment deux valeurs de la forme
eï,(m+x)
il m -+- j.
les quantités entre parenthèses étant composées d'un nombre fini de termes. La différence de ces valeurs devant satisfaire à l'équation, on devra avoir, quel que soit X,
eIH '"+•*•) //
d'où l'on tire
t»(?— «) (Ul+X)
lit
Or, chacun des termes de la fraction du second membre étant un développement fini, il faudrait qu'une exponentielle fût égale, quel que fût .r, à une fonction rationnelle finie, ce qui est impossible, à moins que les deux termes de la fraction ne s'évanouissent séparément. Donc chacune des expressions y{ , y2 vérifie séparément l'équation (9).
Donc l'intégrale générale de l'équation (9) sera
Cji + Co.r
Ci, C2 étant des constantes arbitraires.
916. Si A et B sont réels, positifs et non entiers, ou s'ils sont des nombres complexes à partie réelle positive, l'équation (11)
donnera seulement une intégrale particulière de (9). Pour trouver une seconde intégrale particulière, posons
L'équation (9) deviendra, en supprimant le facteur (m -f- x)7~2,
U(A +B + ).-i)- (A/3 + Ba-hX« + ).p) [m + x) -h «|3 (m -h xf]z
Si l'on choisit X de manière à annuler le terme A (A 4- B 4- 1 — 1), on pourra diviser l'équation par m-\-x, ce qui la ramènera au type de l'équation (1). En négligeant la solution A = o, qui ramènerait i'équation (9), nous prendrons
1 — 1 — A — B, ce qui donne
[— k(i — A) — ,S(i — B) + aj3(iw +.r)>
équation qui ne diffère de (9) que par le changement de
en
et qui aura, par conséquent, pour intégrale, si 1 — B et 1 — A sont des nombres positifs,
l c"('"-h-r) (u a)-*(U — Q)-Kdu.
On aura, dans ce cas, pour seconde intégrale particulière de l'équation (9),
i5) r = [m -b ,rV-A-D J <?«("'+•*■) („ «)-B(« — 8)-Adu.
Jl-A-B e«(
917. L'intégration pourra s'effectuer sous forme finie si les deux nombres A et B sont réels, entiers et négatifs, l'un des deux pouvant même être nul.
En faisant, en effet, la transformation précédente, et posant
458 LIVRE IV. — Cil A P. IV, § IV.
on trouvera, en raisonnant comme au numéro 915,
918. 6ï A e£ B sont positifs et moindres que L'unité, ou du moins si leurs parties réelles satisfont à cette double condition, les deux intégrales particulières (n) et (i5) auront lieu à la fois, et, par suite, on aura l'intégrale générale en ajoutant leurs produits par des constantes arbitraires.
Il y aurait seulement exception dans le cas où l'on trouverait A H- B = i , ce qui, si A et B ont des valeurs complexes, exigerait que les parties réelles de ces deux nombres fussent égales chacune
à-- Dans ce cas, les deux intégrales particulières (n) et (i5)
se confondraient en une seule.
Posons, pour abréger, A -f- B = K,
U = c"<" (u — a)*-1 [a — /3)'!-', V = [m + x)[u — «}(« — (3); les intégrales (n) et (i5) deviendront alors
pfi pj5
j.j = / eHX\Jelu, j2 = I c"xUV-Kdu.
Si )r\iJr2 sont des intégrales de (9),— ~ sera aussi une intégrale particulière, de sorte que l'on pourra remplacer la valeur de y 2 par la suivante : ,
>/3 yl K __ ,
jrs= f e»*U- ---du.
Jy. 1 — lv
Si l'on lait tendre 1 — K vers zéro, le rapport — - aura pour
Jimite logV. Donc, dans le cas de A H- B= 1, la seconde intégrale particulière deviendra
rft )-2 = / etlxV\ogVdu
= f ' e''(m+xi (u — v.)k-l{u — (S)3-1 log[(m + x) (« — «)(« — (3)]rf«.
J Cf.
INTÉGRATION PAR LES INTÉGRALES DÉFINIES. 45g
On vérifierait aisément que celte nouvelle intégrale satisfait encore à l'équation différentielle et qu'elle est, comme l'intégrale (n), développable suivant les puissances de m -4- x en une série convergente pour toute valeur de x.
919. Reprenons l'équation (9), et i° substituons-y pour y la valeur
(16) yz=éuez\
i° différentions l'équation transformée
a fois par rapport à ,r, et posons
L'équation deviendra
[— ( A H- a ) B — B« H- k|3 (m H- x )] ïj
+ [A+fl + B-(K + |3)(m+ .r ) v' + ( m -+- .r ) v/' = o,
ce qui ne diffère de l'équation (9) que par le changement de A,jr enÀ+a, 73.
Or des relations (16) et (17) on tire
(19) v = e«*J)%{c-"Xy),
Donc les deux équations de même forme (9) et (18), qui ne diffèrent que parle changement de A en A H*- a, auront pour intégrales l'une y, l'autre eax D" ( e~ajoj ) .
Si l'on pose de même
on verra que l'équation en Y différera de l'équation en rt par le changement deBenB + i, et qu'elle aura pour intégrale
Donc, si l'on augmente, dans (9), A de a, B de &, a et b étant deux nombres entiers et positifs, l'intégrale Y de l'équation obte-
46o LIVRE IV. — CIIAP. IV, § IV.
nue sera liée à y par la relation
(20) Y = e?*D* [e(—HxD* [e-axj)].
Or, nous avons trouvé [918] l'intégrale de l'équation (9) pour le cas où A et B (ou leurs parties réelles) satisfont aux inégalités
Si, au lieu de cela, A et B (ou leurs parties réelles) ont des valeurs positives non entières quelconques, on pourra, en les diminuant des plus grands entiers a et b qu'ils renferment, les ramener entre les limites zéro et 1 . En intégrant l'équation correspondante àA' = A — a, B' = B — b, on en déduira ensuite, par la formule (20), l'intégrale générale Y de l'équation proposée.
