Si l'on pose maintenant, comme au n

j=(m-+-.r)i-A-Bs,

l'équation en z obtenue différant de (9) par le changement de A et B en 1 — B et 1 — A, ces dernières quantités (ou leurs parties réelles) seront positives si A et B (ou leurs parties réelles) sont négatives. Or, d'après ce que nous venons de voir, nous savons intégrer la nouvelle équation dans tous les cas, et, connaissant z, on en déduira immédiatement^. Donc nous savons intégrer l'équation (9) pour toutes les valeurs négatives de A et de B (ou de leurs parties réelles).

921. Si les nombres A et B sont fractionnaires et de signes contraires, ils devront être réels, sans quoi ils seraient deux quantités complexes conjuguées, dont les parties réelles auraient nécessairement le même signe. Soient, par exemple, A négatif, B positif, et posons

b étant un entier positif, et B' une fraction positive et <^ 1 . Considérons maintenant l'équation

[ — AS — (B' — 1) « 4- xp [m H- x)] z

INTÉGRATION PAR LES INTÉGRALES DÉFINIES. 4Gl

qui diffère de l'équation (9) par le changement de y et B en z et B'— 1 = B — [b-\-i), ce dernier nombre étant négatif et numériquement moindre que l'unité. Cette équation, où A et B' — 1 sont négatifs, pourra s'intégrer, d'après le numéro précédent.

Connaissante, on aura aisément/. En faisant, dans (21), z = e^x'C1, différentiant b -j- 1 fois, et posant enfin ç^+'J — e~^xy, on en tirera

ft+i

y = e$xD

922. Si A et B sont de la forme p ± iq, p étant positif, on appliquera directement la méthode de Laplace à l'équation (9). Si p est négatif, on fera, comme aux nos 916 et 920,

y = [m -+- x)i-A~1Rzi

et l'on appliquera la méthode de Laplace à l'équation transformée. Dans les deux cas, on obtiendra une seule intégrale particulière. On en trouvera ensuite une seconde en appliquant la méthode de la variation des constantes arbitraires [882].