II. Passons au second cas, dans lequel

On aura alors

— du = mu h B log ( m — « ) ,

U= k — aB-se "-a.

L'équation pour la détermination des limites serait

It(lll-^-X)

u - a re ' = o.

Mais cette équation ne donne pas deux valeurs de u ; on n'obtient donc pas ainsi les deux limites de l'intégrale

y= je '"»(«- «)*-*- du,

et il faut recourir à un autre procédé.

Introduisons d'abord dans l'équation (i), au lieu des constantes a0, b0, at, ..., les constantes m, A, B, a; on trouve facilement que l'équation (i) devient ainsi

d'où, en posant y = eaX 'z,

(23) Az + B^+(m + «)/ = o.

Si l'on y fait maintenant

m -+- x =z f-, il viendra enfin

(24) 4Afz+(2B — 1)^ ■-+-*!-£ — o,

qui est un cas particulier de l'équation (9), où l'on a changé

respectivement en

Nous savons donc intégrer complètement l'équation (24), et de là nous déduirons l'intégrale générale de (22), au moyen des relations

924. Dans le cas particulier de A== o, l'équation (a3) devient Bz' -h [m -+- .r)z" = o,

d'où

on conclut de là que l'intégrale générale de l'équation

[— Ba -f- «2(/w -h .-r)]j+[B — 2k(hi -4- a?)] y' -h (m + x)y = o ou

(a0 +&„*)/ + («!+ ftta:)y+ («,+ -^.\y" = 0 sera