III. Dans le cas de b2 = o, on a

P (70 -+- ax u H- (72 u2 A

et l'équation (i) devient

( 25 ) [à — v. ( m -1- ,r )] y -+- [m -ha: — n v. ) y' -+- ny" = o.

On a ici

I — <•/« — m« -| w1 -i- A log ( « — a j ,

d'où

J^'ï U (>JZ -+- .*) + - «S

(«K)A-le 2 ^

t/(, îi2 étant les racines de l'équation

(20) (// — a)Ae 2 =0.

Pour avoir l'intégrale générale de l'équation (25), il faut discuter l'équation (26).

i° Considérons le cas où l'on a

les racines de l'équation (26) seront

//. — a, -(- co , — go ; l'intégrale générale de l'équation (25) sera donc, dans ce cas,

(« — u)k~le - du

,, rr. n

•^ oc

ou, en posant dans la première intégrale u — a = ^ et dans la seconde u — oc = — p ,

y = e*xl ,,A-le2 [C1el'("!+Wl,)+ ^2(?-r(m+x+«a)j ^ «^0

Si A est un entier positif, on pourra écrire cette intégrale sous la forme

2° Si A et n sont l'un et l'autre positifs, les racines de l'équation (26) seront

u ==. «, +/x, — /go,

et, en posant dans la première intégrale u — cc=iv et dans la seconde u — ce = — iV, on trouvera de même

j = e%x l vk~1e 2 [Cie','C'"+;c+"a)+ C2e-'"(/"+-,:'+"a)] f/i-.

Si A est u/z entier positif, cette intégrale est susceptible de la même transformation que dans le cas précédent.

3° Si A et n sont négatifs, les racines de l'équation (26) seront u =ziz co , et la formule de Laplace devient

itlm-\-x)-i — h2 ? a du.

Mais ici elle est illusoire, la fonction sous le signe y passant par l'infini dans l'intervalle des limites. Il en sera de même

4° Si A est nul ou négatif, n étant positif.

Donc, dans le cas de A<^o, l'intégration de l'équation (25) ne peut s'effectuer par la méthode de Laplace. Voici la méthode que lui substitue M. Spitzer.