En posant

l'équation (25) devient

ou , en faisant

m -f- x -+- nu. = />t,

A/.-z -+- Pt — -h n — 7=0, dt <U'

ou enfin, en prenant A2 = — n,

dz cPz ^ kZ+tdt-d^ = ^

où A est supposé toujours réel et négatif. En représentant ce nombre par — a, l'équation à intégrer sera

dz <Pz

28 ~2iZ-\-t- — =0.

v ; dt df-

Considérons maintenant deux cas.

i° A = — a est négatif et entier. DifFérentions alors a fois l'équation (27), ce qui donnera

ou, en posant D^-1 z— ç,

~ = fç,

dt

équation à laquelle on peut appliquer la méthode de Laplace. En posant donc

Ç = / \utUdu, l'équation devient, en opérant comme au n°912,

[e-u]--JJ>(«u + ^)^.

On satisfait à cette équation en déterminant d'abord U par l'équation

TT , t™ 1' > TT -ï

«U H — — = 0, d ou U = e -5

puis choisissant les limites de manière que eutU s'évanouisse, ce qui aura lieu pour u — ± go . On aura donc, pour la valeur de

e * du.

dl* -'-00

En intégrant a-f- 1 fois les deux membres de cette équation par rapport à t, les intégrations du second membre étant effectuées entre