La différence

MP ^ds I / Vt\2 1

MA-MP= — =f (i-cosM'MA) = -^-f- • - - = — ds dr* ;

cosMMA COS-2-r/r 2 \ 2 / 10

donc la différence entre la somme des tangentes et la corde

MAM' — MPM' == ^ ds d^ o

est du troisième ordre, et il en est de même, à plus forte raison, de la différence entre l'arc et la corde.

On peut d'ailleurs calculer cette différence directement. On a, aux infiniment petits près du quatrième ordre,

afrcMM' = f. Jd?-hdn*=f d% y i + (y' -H f'I + \f'^ Y

v ' J L a(.-H.r")+ 6(*+j'2)2 "J' corde MM'= V^'2 + (ji-j)2 = * i/ « + (j' + ^ j" h + g j'"^2) *

=**-4,+»-Fïy?) + ^^ »WfJ'

En prenant la différence entre ces deux valeurs, on a

arc — corde = — -, A3 J i + r'2 ( — : - = — 7 ds dz1 :

donc la différence entre l'arc et la corde est le tiers de la différence entre la corde et la somme des tangentes menées à ses extrémités.

54o. Soit M" [x -h h -f- 7^,, r2) [fig- 4^) un nouveau point de la courbe. Si l'on mène la corde M 'M7, on aura

tanglL'M'* = /> + * ^ )-/(■* + *) =f,[x + h]+z =y,+ ,

=/'(* + A) + | [/*(*) + s] = /'(*) + 2^±--1 (jr' + n),