THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE

'2 v n bh

l+j"+5 2 I-Hjr

quantité égale à tangM'AT, lorsque ht est égal à 7z, ou infiniment peu différent de h, comme cela arrive lorsque la différentielle de x

est constante, ou qu'elle correspond à un accroissement constant d'une variable dont x est une fonction continue. Donc, lorsque h est constant ou varie d'une manière continue, l'angle de deux cordes consécutives, infiniment peu différentes entre elles, est égal

à l'angle de contingence.

Autrement, on a

d'où

7 yt — Y dly' -4- s) , . , ,

«arc tang ■ — - — - — — — = (i + ejaarc tangj ,

c'est-à-dire =(i+ î)c!t.

546. Sens de la concavité d'une courbe. — Une courbe est dite concave vers le haut (ou convexe 'vers le bas), lorsque, dans le voisinage du point considéré, elle est située au-dessus de la tangente en ce point. Elle est dite, au contraire, concave vers le bas (ou convexe vers le haut), lorsqu'elle est située au-dessous de la tangente.

La courbe sera concave vers le haut si, pour une abscisse x-\-h infiniment voisine de l'abscisse x du point de contact, l'ordonnée Y de la courbe est algébriquement plus grande que l'ordonnée m de

la tangente. Or on a, pour l'abscisse x -+- h,

r,=y-^hy', Y=y-+-hy'-\ (j"+5),

d'où l'on tire

*-i = -(.rr+«).

quantité qui, pour h assez petit et j " différent de zéro, sera de même signe que y"; donc, pour j"^>o, la courbe est concave vers le haut. Au contraire, pour j"<^o, la courbe sera concave vers le bas.

547. On peut estimer de la même manière le sens de la concavité par rapport à la direction des abscisses positives. Si

— = x" = —■— <If'2 ~ j'3

est positif, la courbe tournera sa concavité du côté des x positifs ou vers la droite; si x"<^o, la courbe sera concave vers la gauche. Remarquons que la quantité x" est de même signe que

ou encore de même signe que — — ,-•

548. Si j " est de même signe que y, ou si l'on a yj " 'z> o, la courbe sera convexe vers V axe des x. Si yj " <^ o, elle sera concave vers l'axe des x.

De même, elle sera convexe ou concave vers V axe des y, suivant que xx" sera positif ou négatif.

Exemple. — ■ Considérons la cycloïde allongée ou raccourcie, représentée par les deux^équations

x = a(nt — sinf), y = a(i — cosl).

On tire de ces équations

dx = adtin — cos/), dy =: adt.ûnt, d'où y'= •>

K ' J ' ■ n — cost

, , n cosr — i zzcosf — i

«) = ; n»*i doù / =

(n — cost)2 a(n — cost)

SENS DE LA CONCAVITÉ D'UNE COURBE. 3g

Pour n <[ i, ce qui est le cas de la cycloïde raccourcie, y" change de signe avec n — cosf, et la concavité change de sens. Pour n ^>i, ce qui répond à la cycloïde allongée, c'est le numérateur de y", au lieu du dénominateur, qui change de signe. Pour n = i, j " est toujours négatif, et la courbe toujours convexe vers le bas. Le sens de la concavité relativement aux x dépend du signe

y11 ji COSf I

du rapport — — = : — ; r-.-> c'est-à-dire du signe de

11 y' a$,mt[n — cosfj- °

i — n cos t

suif

Remarquons que la détermination du sens de la concavité d'une courbe revient à examiner si y' croît dans le même sens que x ou en sens contraire.

5-49. Points d'inflexion. — Si y " s'annule, alors la différence Y -j= g #>(/"+ s)

changera de signe avec 7^, de sorte que, d'un côté du point de contact, la courbe est au-dessus de la tangente, tandis que, de l'autre côté, elle est au-dessous. On dit alors que la courbe présente un point d'inflexion.

Remarquons que les conditions d'existence d'un point d'inflexion reviennent à celles-ci \}xy'=o, D^j' différent de zéro. Ce sont là précisément les conditions du maximum ou du minimum dey', comme on pouvait le prévoir a priori.

Si j "' s'annule en même temps que j ", il faut alors, pour qu'il y ait inflexion, que la première des dérivées suivantes qui ne s'annule pas soit d'ordre impair.

Cela revient à chercher la condition pour que y" change de signe lorsqu'on passe de l'abscisse x — h k l'abscisse x -j- h, c'est-à-dire pour que la concavité de la courbe change de sens. C'est là le seul caractère que l'on puisse employer dans le cas où le minimum de y' correspondrait à y" =■ co [392].

La règle serait en défaut si la valeur j " = co , même accompagnée d'un changement dans le sens de la concavité, correspondait à un maximum ou à un minimum de x. Dans ce cas, pour juger s'il y a inflexion, on examinerait s'il y a changement de sens de la

concavité dans la direction des x, c'est-à-dire s'il y a changement

y" de signe àey'y" ou de ~ [547].