IV. Soit enfin

ce qui répond à l'équation

(29) («o+^)j + «lj'+ «2j" = o.

On trouvera

du = a0u -\ lâ H- — - h3

d'où

et en faisant, pour abréger,

[a0 -f- x) u -\ u% -f- — uz = i|/ ( m ) ,

on a

j= / 'tÙWdu.

Les limites m4, h2 sont déterminées par l'équation U = o, qui

est vérifiée pour

a%uz = — 00 .

Si donc on désigne par p1 , p2, p3 les trois racines cubiques de •>

les racines de U = o seront p s go , p2 °c , p3 00 . On tire de là

éiWdu + C2 i e*tW du-{-Cè j éW du. 0 Jo J o

On peut facilement vérifier que cette valeur satisfait à l'équation (29) ; en effet, le premier membre devient, parla substitution de cette valeur,

C, f f (u)e*Wdu + C2 f f (u)e*Wdu + C3 C ' f [u)e'H»)du,

Or on a

fV{u)e*(u)du = e*("\

expression qui s'annule, pourvu que les trois constantes arbitraires soient assujetties à la condition

Si l'on pose respectivement, dans les trois intégrales,

la valeur de y prendra la forme plus simple

* CiPie

(3o) j= / e 3 + C,0,e(<^^+¥^2 }Vfr,

I 4-C3lo3e toujours avec la condition G| 4-C2 4- C3 =o.

929. On peut encore procéder de la manière suivante. Si l'on substitue dans (29) la valeur

y —,eXxZi il viendra

(a0-+- «jA 4- À2 4" -v)z + («i-f- 2fl,À)s'4- «23// =; O,

équation qui se simplifie, si l'on pose

rtl + 2ff2l= O,

et si l'on fait, de plus,

a0 4- « j A 4- )-2 4- x =z — t \Ja%.

On obtiendra ainsi l'équation

d*z iZ--dï = °>

qui aura pour intégrale une expression analogue à l'expression (3o), où l'on aurait posé a0 = o, aK =0, a» = — 1 , savoir

e 3 (C^efi^-f- C2/52ep2"f4- C3p3e?3"')^,

avec les conditions

930. Equation de Riccati. — Cette équation est la suivante '. z' -+-az~ 4- bxm.— o.

En posant

a y* l'équation se ramène à la forme linéaire (3i) xmy— j"=o.

Cette équation s'intègre immédiatement par les méthodes du paragraphe précédent, si l'on suppose à m une des valeurs zéro ou — 2.

Pour toute autre valeur de m, si l'on pose

x = t'\ l'équation deviendra

v ' dt dt*

et celle-ci se simplifiera :

i° Si l'on posemrc -+- in — i = o, d'où n = 5

1 to + 2

t ?n -}- 1 dr d2 y

— y | . -- -f- t IL == o

( m -f- 2 )'2 m -\-"X dt dt1

équation qui a pour intégrale, si -. est entier et positif,

(') En effet, en posant = //., l'équation devient

(A) —ly-1-}j~-ï-(p--t-l)y-jrty' = o.

Or, si l'on différentie y. fois l'équation

(B) —fp-Lj z + lz'-htz"z=0,

on obtiendra une équation en zW qui coïncidera avec l'équation (A). Si l'on prend maintenant ^t = s pour variable indépendante, l'équation (B) se réduira à la forme / i\° d'z

-Yt;}-*-*^0- etc-

On traiterait d'une manière analogue le cas suivant.

ÉQUATION DE RICCATI. 47"

et si -. est entier et positif,

1 7?; +4 / 2 \ll eV?

2° Si Ton pose mzz -h 2 zz — 1 = 1 , d'où n —

(3=) -—itr+-^-d-f+t%

v ( m -+- 2 ) 2 m-i- 2. dt dt%

équation qui rentre dans l'équation (9), en remplaçant

par

Nous avons intégré cette équation dans tous les cas possibles; nous pouvons donc intégrer dans tous les cas l'équation de Riccati.