II. La courbe y = x- — x'' a deux points d'inflexion pour
III. Si l'on considère la cycloïde allongée ou raccourcie [548],
on a. y" = o pour cos£0 — -•> ce qui ne peut convenir qu'au cas de
n~^> i ou de la cycloïde allongée. On voit bien, dans ce cas, que y" change de signe avec t — 10, et par suite avec h = x — x0.
Dans le cas de la cycloïde raccourcie, y" devient infini et change
de signe pour cost = /z; mais alors — s'annule et change aussi de
signe ; donc x passe par un maximum ou par un minimum. D'autre
part, —f ne change pas de signe, ce qui montre que la valeur
cos£ = ri ne correspond pas à une inflexion.
Pour la cycloïde ordinaire, 72 = 1, yl/ = ; r-5 valeur
J ' ,J a(i-cost)2
toujours négative; donc la courbe est toujours concave vers le bas, et n'a pas d'inflexion. Pour t z= o, on a. y" — co , valeur qui correspond à un point de rebroussement.
551. Si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires, le sens de la concavité par rapport à l'origine sera donné par le signe de la différence OT — OM' (fîg. 4°*) entre les rayons vecteurs de la courbe et de la tangente dans le voisinage du point de contact. Or, en menant MN perpendiculaire sur OM', on a
MTN = Q — h, OM'= r + dr — r -f- r'h 4- - (r" H- el h\ ON = r cos/i,
points d'inflexion. 41
d'où
M'N = r(i — cos/i) 4- r'h + - (r" + s) /i8.
On a ensuite
TN = r sin/z cot [0 — h) = r sinh cot 9 + . * h v sin26
r' sin A H /*« ( i + e ) .
On a d'ailleurs, aux infiniment petits près du troisième ordre,
] — COS/z =r - h*, sm/i = h ;
donc
TM'=TN- M'N = —- rh*~— - r"lf+ r—^-— h'- = fr2+2r'2- /r") — • 2 2 /• 2r
Cette expression peut se mettre sous la forme
2 yr ' r/ 2«-
en posant u = — •,
C'est donc le signe de u -f- m" qui déterminera le sens de la concavité. Pour u-\-u"^>o, la courbe sera concave vers l'origine;
pour u -+- m''^ o, elle sera convexe vers l'origine, dans l'hypothèse de r et de u positifs. Si r et u étaient négatifs, on aurait dû prendre la différence entre M'O et O'T en sens contraire, et la courbe serait concave ou convexe vers l'origine suivant que u~\-u" serait négatif ou positif.
Si l'on considère, par exemple, une section conique
Au = i -f- e cos/>,
on a
ku" = — e cosp, d'où u -+- u" = - ~^> o ;
donc la courbe est concave vers l'origine lorsque le rayon vecteur est positif, convexe lorsqu'il est négatif.
Les points d'inflexion sont donnés par la condition que M'T change de signe avec h. Il faut pour cela que u -{- u" change de signe, et par suite qu'il s'annule en général, et quelquefois qu'il devienne infini.
§ iv.
552. L'angle TAT', dont dévie la tangente aune courbe lorsque le point de contact passe d'une extrémité à l'autre d'un arc MM' (Jîg- 47)? s'appelle la courbure absolue de cet arc. Cet angle est égal à l'angle MOM', que font entre elles les normales menées aux extrémités de l'arc.
Si la courbe est un cercle de rayon p, on a, en désignant par s
Fig. /,7.
la longueur de l'arc MM', et par 9 la courbure absolue de cet arc,
donc, dans un même cercle, la courbure absolue est proportionnelle à l'arc. Pour une même longueur d'arc prise dans des cercles différents, elle est inversement proportionnelle au rayon du cercle. La courbure spécifique d'un cercle est la courbure absolue d'un
arc égal à l'unité de longueur. Elle est donc représentée par-» Si maintenant s désigne un arc quelconque de cercle, et que ô soit
sa courbure absolue, comme on a s = 6p, il s'ensuivra que la courbure spécifique du cercle sera exprimée par le rapport
Dans le cas d'une courbe quelconque, le rapport - sera dit la
courbure moyenne de l'arc de longueur s, dont Q est la courbure absolue. Ce sera la courbure spécifique d'un cercle qui, pour une même longueur d'arc, présenterait la même courbure absolue. Si l'arc s est infiniment petit, la quantité
- = lim -
sera la courbure du cercle de même courbure spécifique que l'arc infiniment petit s. C'est ce qu'on appellera simplement la courbure de la courbe au point considéré. Le rayon p ainsi déterminé se nomme le rayon de courbure. Si, sur la normale au point M, on porte, dans le sens de la concavité de la courbe, une longueur OM = p, le point O sera le centre de courbure, et le cercle décrit de ce centre et du rayon p sera le cercle de courbure.
En appelant x l'angle que fait la tangente en M avec une direction fixe quelconque, la variation dx de cet angle sera la déviation infiniment petite de la tangente, en passant d'une extrémité à l'autre de l'arc ds. On pourra donc mettre les expressions de la courbure et du rayon de courbure sous la forme
ï eh fis
p ds di
Ainsi le rayon de courbure est égal à l'élément d'arc divisé par l'angle de contingence [541].
553. Le centre de courbure est la limite du point d'intersection de la normale en M avec la normale en un point infiniment voisin. En effet, les quatre points M, O, M', A étant sur un même cercle, l'angle inscrit MO M' a pour mesure l'arc de cercle MAM', divisé par le diamètre OA. En posant donc MOM'^TAT'^: 6, on a
arc MAM'
