AO

Mais, pour MM' infiniment petit, chacun des arcs qui aboutissent aux mêmes extrémités M, M' diffère infiniment peu de la corde commune [537, 544], et, par conséquent, ces arcs diffèrent infiniment peu entre eux. On peut donc, dans la limite de rapport, remplacer l'arc de cercle MAM' par l'arc de courbe MBM' ou ds.

On a donc

hm AO = hm MO = IimT=p, ck

et, par conséquent, le point O a pour limite le centre de courbure.

554. Si l'on prend, pour fixer la direction de la tangente, son angle avec l'axe des x, on a

dy ,

d'où

& dx

dx2 dr = cos2~ dy' = — — - dy' , J ds2 J

comme nous l'avions trouvé au n° 534. Donc

i dr dx^-dy' fdxy dy' p ds ds* \ds / dx.

, , ds* ds*

en posant [302

dl1L

n dy dx

dx dx

ce qui revient à. y" = -yV' lorsque la variable indépendante est x. On peut encore écrire

i y" fi-+-.r'2)^

ds Si l'on désigne par N la longueur de la normale y — [509], on

aura la relation

p— "NT' P = yTf7'

Calculons maintenant les coordonnées du centre de courbure. Ce centre est sur la normale, qui a pour équation [507]

[% — x]dx -\- ( ïj — y ) dy = o.

Le carré de la distance de ce centre (|, y) au point (x,y) est

; y" dx% On a donc

d'où l'on tire les valeurs de £ — x, 77 — j)', mais avec une ambiguïté

de signe. Pour lever cette ambiguïté, rappelons-nous que la for-

ds* mule (1) du numéro précédent, p = n ? donne pour p dx une

valeur positive ou négative, suivant que la courbe sera concave

vers le haut ou vers le bas [546]. Or le centre de courbure étant

dans la concavité, r; — y doit être de même signe que y", et, par

suite, que pdx. Donc il faut prendre le signe supérieur, ce qui

donne

dy ds2dy dx ds^

ds y" do?' r r ds y"dxl

556. On peut arriver au même résultat, en cherchant la limite de l'intersection de deux normales infiniment voisines. Soit, en général,

l'équation d'une ligne, dans laquelle £, y; sont les coordonnées variables, et x, y, qui jouent le rôle de paramètres, les coordonnées d'un point donné sur une autre courbe donnée. Si l'on passe du point {oc, y) au point infiniment voisin [x -+- dx, y -+- dy) de la même courbe, l'équation V= o devient

V ( ?, ïj, x -f- dx, y -+- dy ) = V + dV = o,

la différence dV ou dx yY, étant prise par rapport à x, y, en laissant £, n constants. Pour avoir l'intersection des deux lieux infiniment voisins

V— o, Y-hdV=o,

il faut considérer ces deux équations comme existant simultanément, ce qui revient à poser à la fois

V=o, dV—o,

et, de ces deux dernières équations, on tirera les valeurs de \ et de n.

557. Si maintenant V= o représente l'équation de la normale, les deux équations précédentes pourront s'écrire sous la forme

Ç— x + j'(u —y) = o, — i -f-/"(vî — y) — yn — o,

d'où l'on tire

t -4- r'2 ds*- , i -i- y'2 dyds*

f ydx* * y" y"dxà

fis* , - , A»

P = v/(? - .*)2 4- [vj - j-)2 = ^ -17—7 d 1 +y * = ± —

' T ' y cLr/ y " dx6

le signe étant choisi de manière que la valeur soit positive, lorsqu'on ne veut avoir que la longueur absolue de p.

558. On peut calculer l'angle de contingence d'une autre manière, qui fait connaître en même temps le centre de courbure. Pour cela , démontrons d'abord une formule importante et d'un fréquent usage.

Soient a, b les cosinus des angles qu'une droite mobile fait avec les axes ; a -f- da, b -+- db les cosinus analogues , correspondants à une autre position de la droite; 0 l'angle que font entre elles ces deux positions. Le cosinus de cet angle aura pour valeur, à cause de a2-hb2=i,

cos 6 = a [a + da) -+- b (6 -f- db) = i -f- a da ■+- b db .

On a d'ailleurs

I = (a + daf + [b -f- dbf = i -+- i{ada + b db) -f- da* + db\

d'où

ada-h bdb — — - (da*-+-db*),

ce qui donne la formule rigoureuse

\]i (i — cosô) = 2 sin - 9 = \Jda? 4- dô2.

Si maintenant les accroissements rfa, db sont infiniment petits, ainsi que l'angle 6 = rfr, on aura

2 sin - 0 = dz,

aux infiniment petits près du troisième ordre, d'où la formule générale pour l'angle de deux directions infiniment voisines

dz = s/da* + db2.

559. Cela posé, par le point M(x,j^) (/%. 48), menons la tangente MT en ce point et la parallèle MT' à la tangente au point M'(x -h dx,j -+- rfj ). Prenons sur ces deux droites des longueurs quelconques égales entre elles MT=MT'— /. La droite TT', dirigée de T vers T', tendra vers le sens de la concavité de la

Fig. 48.

courbe, et sa direction aura pour limite une parallèle au rayon de courbure, puisque les angles à la base du triangle isoscèle MTT' ont chacun pour limite un angle droit.

Or les cosinus des angles que fait la tangente MT avec les axes

ont pour valeurs [508] a = — -, b ~ — • On aura donc, en appliquant la formule (i) du numéro précédent,

560. Si l'on projette le contour du triangle MTT' sur l'axe des x, et que l'on désigne par \, y. les angles que fait la direc-

tion TT' avec les axes, on aura

Wï.a -f-TT'cosÀ— T'M(a + rffl) = o,

ou, à cause de TT'= MT. dz, aux infiniment petits près du troisième ordre,

dz cosl = da,

et de même

dz cos y. = db ;

donc

da db , r—z —

dz = = = ± Jda- -+- db2,

cos A cosp v

où nous prendrons le signe -f-, si nous voulons considérer dz

comme une grandeur absolue. Donc, en mettant pour a, b leurs

1 dx dy .,

valeurs —■> — j il vient ds ds

• I dx i rfj

cosa = — - rf — -5 cosw= — -a— -»

dz ds dz ds

a dx a dy

Ç — 07 =: p COSA = -'- rf — - , 73 — V = p SUIA = -!— rf -— ,

p étant pris, comme c?t, en valeur absolue.