On a maintenant, à cause de

ds^ = dx"- -f- dy2, dsd%s = dxd^x + dyd^y,

dx ds* d% x — dxdsd^s [dx* -+- dr*)d*x — dx[dxdl x -+- dyd"2y) ds ds2 ds3

dy l dy d^x — dx d^y) dx

ds3 ds3

et de même

dy 1 dx . dx- . d — -

ds ds3 '

les valeurs de £ — x, « — y peuvent donc s'écrire

r' dx} dy' dx%dy'

q-xz=-r-d7dF-> *-* = ?-*&*

, ds ou, a cause de p = — »

ds dr

dxzdy' dxzdy'

D'ailleurs

j dx2dyr

ds j \ ds ) v ; \ <r^3 y ds*

d'où

fZr = ±:

<fos

le signe étant choisi de telle sorte que le second membre soit positif. Donc, en mettant pour dx2 sa valeur,

ds2 ds*

%—x=—y — — , 7,—jr

dx dy dx dy'

P = y/(? - xf + („ -jr)2 = ± ^-77 V7' +/2

dxdy' dx'1 dy'

le signe étant choisi de manière que la valeur de p soit positive. On retrouve ainsi les résultats du n° 557.

On peut mettre l'expression (2) [559] de dx sous une autre forme. Des égalités dx- -+- dy2 — ds2 , dx d2 x ■+■ dy d2y = ds d2 s on conclut

2 ds*~{d2x*-h d2f) — idsd2s{dxd2x^-dyd2y) + d2sl{dx2^-dy2)

c - dV~

ds2{d2x2-+-d2y2)— 2dsd*s.dsd*s+d2s*.ds* d2x*-±d*y*—d2s*

d'où

(3) dx = j sjd2x^ + d2y*—d2s2.

Il est facile de démontrer cette dernière formule directement. Prenons sur la courbe trois points consécutifs (fig- 4s>)>

M (x, y), M' (x + dv, y + dy),

M"[x + dx + d[x + dx), y -h <r/j + d( y -f- dy)],

H. — Cours de Calcul infi.11., II. 4

et calculons l'angle des deux cordes consécutives infiniment peu

différentes MM'M(, M'M", angle que nous avons vu être égal à l'angle de contingence [545]. Soient l'arc

MM'=ds, l'arc

M' M" =ds H- d* s.

Sur le prolongement de MM' prenons M'M1 = MM' = ds [544]. Les coordonnées de M, seront x -+- idx, y -h idy. Par conséquent, la distance M, M" a pour expression

M1M*= )/dixi^-dtjs.

En projetant d'ailleurs M'M, sur M'M", on a, à un infiniment petit près d'ordre supérieur au second [537], M'P = M'M< = ds, d'où PM"= d2s, et, de plus, Mi P = dsdx. Donc

dsdz —. ^M"2 — M"P2 = <Jd*x*+ d%f~— d*sK

Si l'on s'était appuyé sur le résultat que l'on vient de trouver directement au lieu de partir de la proposition du n° 545, on aurait obtenu une nouvelle démonstration de cette proposition.

On a, d'ailleurs, d'après ce qui précède,

ds^dx* — [dx% -Y d/~) [d^x* + d2j2) — [dxePx + dyd^yf = ( dx cPy — dy d*-xf = dxk (ddr

d'où

i i ^x% , dy ds% dx '

comme on l'avait trouvé par d'autres procédés.

RAYON ET CENTRE DE COURBURE. 5l

564. Considérons maintenant le cas où la courbe est rapportée à des coordonnées polaires. Nous avons vu [516] que l'on a

T rrr p -+- d, d'où ch = dp -f- dd.

Or on a

tang9=-,; d où sec* QdQ = d — -5 . r r

r/r2 r dr1 dr*- — rd*- r , /2-r/

<ft2 r' *fcs r'2r//j ' /-2H-r'2

/ dr*—rcPr\ . idr* — rd* r ■+- r* dp*

ou enfin

2r'2 rl,ll

dz = dp

d'où l'on tire

ds ^3 (a-2-4-/-'2)2

<t/t dp^idr'1 — rd'1 r -\~ r- dp-} f--r2r'-- — rr"

Si l'on fait le même calcul en introduisant, au lieu de /', son r

inverse u= -•> on aura [517]

tango == -,

et l'on en tire [518]

(u-+-u")udp __(k8H-«'8)8 «3N3 i u + u"