LIEU DES CENTRES DE COURBURE

Eliminant Shcp entre ces deux dernières équations, il vient

équation du lieu des centres de courbure de la parabole. IL Soit la chaînette, représentée par les équations x==af, y~aChœ.

On tire de ces équations

clx = ado, dy = aShodo, ds = aChodo,

dx i Sh wd'j) dy do

a-— = d— — = cosAat = rV-1- > d— = dThm-=cosu.d-= — -—,

ds Cli y Ch2y ds ' r Ch2y

dx — — — , cosA = — In?>j cosu=— ; — ?

Chy ' Chy

ds p r= —- == r/ Ch2 y, % — x = — «ShyChy, ti ■ — y = aChai dz '

% = a(o— Chy Slîy) = x — y i/ —^ — i, n = 2«Chy = iy.

III. Soit enfin la spirale logarithmique r — aenP. On tire de cette équation

/= nr, r" ' ■==. n*r, ds = r dp \j\ -f- nÈ-= dr ,

tang 0 — -, dd ■=. o, dz = dp, p = r ^i-h n'J

et, par suite,

Rsin(P — /?) = —-= «r, Rcos(P — p) = o.

Donc le centre de courbure est sur une perpendiculaire au rayon vecteur, et R = nr est la sous-normale. On voit aisément que le lieu des centres de courbure n'est autre chose que la courbe ellemême, que l'on aurait fait tourner d'un certain angle autour de l'origine.