CONTACTS DES DIVERS ORDRES

pour les deux courbes, on voit qu'elles ont même rayon de courbure et même cercle de courbure.

En général, si, pour l'abscisse X = x, on a les n -4- i égalités

Y = jj, r=zy\ T' = / Tf»)=^n',

la différence entre les ordonnées <j1,Y1 des deux courbes qui répondent à l'abscisse infiniment voisine x-+-h sera infiniment

petite de l'ordre ra-f-i, et le rapport ' delà différence des

ordonnées à l'accroissement d'abscisse h sera infiniment petit de l'ordre n. On dira, dans ce cas, que les courbes ont entre elles un contact du nlème ordre.

Remarquons que la définition que nous venons de donner de l'ordre de contact, et qui est fondée sur la considération de la distance des points des deux courbes situés sur une même ordonnée, conduit à un résultat indépendant de la direction des ordonnées, pourvu que cette direction ne soit pas parallèle à la tangente à l'une des deux courbes au point considéré; car, si l'on mène par le point A(xH-/j,J)) {fig' ^l) deux droites de directions quel-

Fig. 5i.

conques, non parallèles aux tangentes en M, les angles du triangle infinitésimal ABC tendront vers des limites finies, et le rapport des côtés AB, AC aura aussi une limite finie. Donc AB et AG seront des infiniment petits de même ordre.