Soit une courbe (G), dont l'équation

F(X, Y, «,«!,..., an) = o

renferme 72 -f- 1 paramètres arbitraires a,at, . . . , an. On peut disposer de ces paramètres de façon que la courbe (G) satisfasse à n -h 1 conditions données. Si ces conditions consistent en ce que

la courbe (C) ait avec une courbe donnée

un contact d'ordre n, c'est-à-dire de l'ordre le plus élevé possible, la courbe (C) sera dite alors oscalatrice à la courbe (2) au point

Soient

F (X, Y, a, au . . ., an) = 0,

F, (X, Y, Y', a, au . . ., an) = o,

F„(X, Y, Y', . .., !(»),«, au ...,an)=o

les équations que l'on obtient en différentiant n fois l'équation (1). Les conditions pour que la courbe (G) ait avec la courbe donnée un contact d'ordre n étant exprimées par les équations

(3) Y = j-, T=y', Y"=y", ..., Y(">=jW,

pour X — x, il en résulte que les équations précédentes devront être vérifiées quand on y remplacera

X, Y, Y', - . . , YW respectivement par les valeurs connues

*> y, j'-> • • • ^ j(ra)-

On aura donc, pour déterminer les 72 -+- 1 paramètres de la courbe C), osculatrice à la courbe (2) au point (x,y), les équations

F (x,jr, a, au an) = o,

Fi [x, y, j\ a, au . . . , an) = o,

F„(.r, j, f , . . ., yW, a, ay, . . ., an) = 0,

y, y'; • • -rj^ étant les valeurs tirées de l'équation (2) et de ses n premières dérivées, et relatives à l'abscisse donnée x.

569. Supposons actuellement que les n -+- 1 conditions pour la détermination de la courbe (C) soient que cette courbe passe par un point (oc, y) de la courbe (2) et par n autres points de la même courbe, correspondants aux abscisses xK,Xz, • • • , ocn. Les ordon-

COURBES OSCULATRÏCES. 57

nées des deux courbes, correspondantes aux abscisses x,x{, ..., xn, devront être respectivement égales, c'est-à-dire que l'on devra avoir les n H- i égalités

D'après cela, l'équation (i) fournira, pour déterminer a,af, . . .,an, les 72 -f- i conditions

F(jj, y, a, «j, ...,an)= o, Ff.ru, jl5 «, «j, ...,«„) = o,

FU„,jr„, «,«!,..., a„) = o.

Si l'on conçoit, maintenant, que les 72 -f- 1 points donnés sur la courbe (2) deviennent infiniment voisins, la courbe (C) tendra vers une certaine limite ; cherchons ce que deviennent alors les conditions précédentes.

Soient, pour abréger,

"1> "25 • • • ' 'ln

les différences

En développant les valeurs des ordonnées qui entrent dans les équations (4), ces équations deviennent

hn hn

H S(T(»)rC»)H-«^.

Donc, pour que (C) passe par le point (x, y) de la courbe (2), il faut que l'on ait Y — y = o, ce qui réduit la seconde des équations précédentes à Y' — y7-4-e1 = o. Si ht, et par suite e1 deviennent infiniment petits, cette équation deviendra, à la limite,

Y' — j' = o, et par conséquent les conditions qui expriment que les deux courbes ont deux points communs infiniment voisins seront Y =y, Y'— y', et ce sont précisément là les conditions qui établissent entre les deux courbes un contact de premier ordre.

Ces conditions étant remplies, la troisième équation (5) se réduit à Y"" — y" -h ss— °- Si le troisième point (x2, y2) se rapproche indéfiniment du premier (x,y), e2 devenant infiniment petit avec 7i2, on aura alors la condition limite Y"=y", qui, jointe aux deux précédentes, exprimera que les deux courbes ont trois points communs infiniment voisins, et, en même temps, qu'elles ont entre elles un contact du second ordre.

La quatrième condition se réduit alors à Y'f/ — y'" -h s3-— o, d'où l'on tire, à la limite, Y/7— j/,y, et ainsi de suite. Si donc les n -f- 1 points se réunissent en un seul, on aura, pour les conditions que doit remplir la courbe (C),

Y=j, Y' = jr, Y" = j", . .., YW = yl"\

qui sont précisément les conditions pour que les deux courbes aient entre elles un contact du nième ordre ou soient osculatrices. Ainsi la courbe cherchée sera la courbe d'espèce (G) osculatrice à la courbe donnée (2), ayant avec celle-ci le plus grand nombre possible de points communs infiniment voisins, ou, ce qui revient au même, ayant avec (2) un contact de l'ordre le plus élevé possible.

570. Exemples. — I. Droite osculatrice. L'équation d'une droite

Y:=flX+ b

contient deux paramètres a, b. On pourra en disposer de manière à établir, en général, entre la droite et une courbe donnée, un contact du premier ordre. On aura, pour cela, les conditions

y — a.x -|- b, y' — a, d'où l'on tire

a=y', b=y — .vyf,

et l'on retrouve ainsi l'équation de la tangente [504].

Si, au point considéré de la courbe, on a y"= o = Y", c'est-

COURBES OSCULATRICES. 59

à-dire, si le point [x, y) est un point d'inflexion de la courbe, le contact de la courbe avec sa tangente sera du second ordre. Il sera de l'ordre n, si l'on a à la fois