Une équation

renfermant un paramètre arbitraire C, représente une infinité de courbes, lorsqu'on donne à ce paramètre une série de valeurs différentes. Il peut arriver alors que la courbe variable parcoure le plan tout entier, comme cela a lieu pour les cercles concentriques représentés par l'équation x- -\-y2= C2. D'autres fois, la courbe laissera une portion du plan dans laquelle elle ne pénétrera pas. Ainsi le cercle vaiùable X--+- y- — tîC(x-hy') -t- C2 = o, tangent aux deux axes coordonnés, ne se mouvra que dans l'angle des coordonnées positives et dans l'angle opposé, et ne pénétrera pas dans les deux autres angles.

Si l'on suppose que le passage de la courbe mobile laisse une trace sur la partie du plan parcourue, la limite de l'espace occupé par ces traces s'appellera Y enveloppe de la courbe mobile. Dans le dernier exemple, cette enveloppe se compose de l'ensemble des deux axes coordonnés.

Chacun des points de cette courbe limite lui sera commun avec quelqu'une des courbes variables. Mais la courbe variable ne pourra couper l'enveloppe en ce point commun, sans quoi elle entrerait dans la partie du plan où, par hypothèse, elle ne doit pas pénétrer. Donc l'enveloppe est généralement tangente aux diverses courbes (i), auxquelles on donne le nom à' enveloppées.

582. On peut encore définir autrement les courbes enveloppes. Si l'on considère deux courbes de la série (i), correspondantes à deux valeurs infiniment voisines C, C, du paramètre variable, elles se couperont généralement en un point M (fi g. 56), qui tendra vers une certaine limite p, lorsque G< tendra vers C. Lorsqu'on fera varier C, le point jj. décrira une certaine ligne qu'on appelle le lieu des intersections successives de la courbe variable.

Supposons que la fonction F(x,y, G) soit uniforme et continue par rapport à chacune des quantités x, y, C. Les coordonnées du

point d'intersection de la courbe (C) avec (C,) varieront d'une manière continue en même temps que le paramètre C{. et généralement à des accroissements infiniment petits de signes contraires donnés à C< correspondront des accroissements de signes contraires de chacune des coordonnées x,y de ce point.

De plus, la quantité

àj

étant supposée une fonction continue de C, les valeurs de y' correspondantes aux deux courbes infiniment voisines qui se coupent

Fig. 56.

en M seront infiniment peu différentes, et, par suite, l'angle des tangentes à ces courbes en ce point sera infiniment petit. Il en sera de même de l'angle de deux cordes infiniment petites, telles que pM.-, Mp.,.

On conclut de ces remarques que, si p, (it sont les deux limites du point M, lorsqu'on fait tendre soit C( vers C, soit C vers C^ les projections des droites M//, M//, sur une direction infiniment voisine des tangentes en M seront de sens contraire. Donc le triangle |xMfi1 a deux angles infiniment petits en fx et (/,, puisque la somme de ces angles est l'angle des cordes (/.M, M/u.,.

Or les côtés [àM, fx^ de ce triangle ont pour limites respectives les tangentes à la courbe G et au lieu des points p. Donc ces limites coïncident entre elles, et, par suite, le lieu des intersections successives est tangent, en chacun de ces points, à la position de la courbe variable qui passe par ce point.

583. Voyons maintenant comment, en partant de chacune de ces définitions, on peut trouver l'équation de l'enveloppe.

Nous supposerons d'abord, pour plus de simplicité, que l'équation de l'enveloppée (i) soit rationnelle et entière en x, y et C, ou du moins que son premier membre soit une fonction jouissant, comme les fonctions rationnelles et entières, de la propriété d'être finie, ainsi que ses dérivées partielles, pour toutes les valeurs finies de x, y, C.

Cherchons à déterminer l'enveloppe, d'après sa propriété d'être tangente à toutes les enveloppées. Pour chaque valeur du paramètre, une des enveloppées vient à son tour toucher l'enveloppe. Il y a donc une dépendance entre la valeur de C et l'abscisse du point de contact correspondant, de sorte que la valeur qu'il faut donner à C pour que l'enveloppée vienne passer en un point de l'enveloppe d'abscisse =x est une certaine fonction de x. On aura donc successivement tous les points de l'enveloppe, en remplaçant, dans l'équation de l'enveloppée, G par une fonction convenable de x (ou de x et dey). Nous déterminerons cette fonction par la condition qu'au point commun l'enveloppe et l'enveloppée aient même tangente, c'est-à-dire que le y' soit le même pour C fonction de x que pour C constant.

Or la valeur de y', dans le cas de C constant, est donnée par l'équation

d¥ , dF do-. Oj-

dans le cas de C fonction de x, on a

dF , dF dC dF dx J dj dx dC

Pour que les valeurs de j^' tirées de ces deux équations soient les mêmes, il faut que l'on ait

dC dF d7r~dc~°'

condition à laquelle on satisfait soit en posant — = o, ou C = const. , ce qui correspondrait à une enveloppée ; soit en posant

1 \ dF

Cette dernière équation détermine pour G la valeur variable qui correspond à l'enveloppe. En éliminant donc C entre les équations (1) et (2), on aura l'équation de l'enveloppe.

La valeur de y' , dans le cas de C variable, peut s'écrire sous la

forme

dF dÇ dF y

/___ f!f dx âc

dy dy

Son second terme, par lequel elle diffère de la valeur correspondante à G constant, peut s'annuler non-seulement en supposant

dF . dF n . .

— = 0, mais encore en supposant — =00. dette supposition, ôC L L dy l L

inadmissible dans le cas, que nous avons considéré d'abord, de F(x,y, C) entière et rationnelle, peut, au contraire, donner des solutions lorsque F(x,y, C) est de forme quelconque.

Remarquons que, sauf le cas où l'on aurait y' =■ o en tout point de l'enveloppe, et, où, par suite, celle-ci serait une droite parallèle

dF aux x, la supposition — = co entraîne en même temps l'équation

On voit de plus que, bien que le second terme de la valeur (3) de y', soit nul en chaque point de l'enveloppe, il n'en sera pas de même, en général, de sa dérivée; d'où il s'ensuit que la valeur de y" n'est pas généralement la même pour l'enveloppe et l'enveloppée, de sorte que ces deux courbes n'ont entre elles qu'un contact du premier ordre. Il peut cependant y avoir des exceptions, dont nous nous occuperons plus tard.

584. Cherchons maintenant à déterminer l'enveloppe comme lieu des intersections successives de l'enveloppée.

Si nous considérons les deux enveloppées correspondantes aux valeurs C et C H- A du paramètre, leur intersection sera donnée par l'ensemble des équations

dont la dernière peut s'écrire

ou simplement, en ayant égard à la première,

Si l'on suppose maintenant h infiniment petit, on voit que la limite de l'intersection de deux enveloppées infiniment voisines est donnée par le système des deux équations

On aura le lieu de ces intersections limites, en éliminant C entre ces deux équations, ce qui s'accorde avec la règle du numéro précédent.

585. Pour qu'il y ait intersections successives, il faut qu'à deux valeurs différentes du paramètre, G et G -+- /*, puisse répondre un même système de valeurs de x et de y. Si donc l'équation était résolue par rapport à G sous la forme G =f(x,y), il faudrait que le second membre f(x,y) fût susceptible de deux valeurs au moins, fK et f%, dont l'une serait égalée à C, l'autre à C-f-A; par suite, la différence/^ — f\ de ces valeurs serait égale à h. En faisant maintenant h = o, on a, pour l'équation de l'enveloppe,

donc l'équation de l'enveloppe n'est autre chose que la condition qui rend égales deux racines de l'équation ¥[x, y, C) = o, où C est l'inconnue.

Si la fonction F est entière et rationnelle par rapport à C, cette

condition d'égalité des racines est donnée par l'équation — = o,

et l'on est ainsi ramené à la règle des numéros précédents.

On voit d'ailleurs que le point de contact de l'enveloppe avec chaque enveloppée partage celle-ci en deux régions, et le point de rencontre de deux enveloppées infiniment voisines appartient à la branche postérieure de l'une et à la branche antérieure de l'autre. Ces deux branches (Jig- 5y) correspondent, pour chaque courbe, à des déterminations différentes de C en fonction de x et de y, sans quoi les branches de deux courbes voisines ne pourraient se rencontrer en M ; et ces deux déterminations se confondent,

lorsqu'à la limite le point M vient sur l'enveloppe. On peut être ainsi conduit a priori à poser l'équation (2) par la considération de l'égalité des racines de l'équation (1) en C.

Ainsi cette règle de l'égalité des racines convient non-seulement

au cas de la fonction F (.r, y, C ) entière et rationnelle, mais encore au cas où cette équation serait résolue par rapport à C, et où la règle du n° 582 conduirait à l'équation absurde 1 = 0.

586. Si l'on considère C comme une fonction de x et de y déterminée par l'équation (1), les dérivées partielles de cette fonction

ont pour valeurs

dF dF

o\r~~ ~ ÔF' dj~ dF' dC dC

Dans le cas où F(x, y, G) est rationnelle et entière, le dénomi-

àF , ! , 1 • t^

nateur ^— est nul, sans que les numérateurs le soient. Donc on a,

en chaque point de l'enveloppe, les deux équations

dC dC

ox ôr

Si l'on vient maintenant à changer la forme de l'équation F[x,y, G) = o, la dépendance entre x, y et G n'étant pas altérée, les dérivées partielles de G ne devront pas changer de valeurs, et, par suite, ne cesseront pas d'être infinies en chaque point de l'enveloppe. Si donc le changement de forme de l'équation F = o fait

perdre des solutions à l'équation — = o, ces solutions devront se retrouver dans les équations

dF dF

ox oy

que nous avons déjà rencontrées au n° 583, et qui sont la conséquence l'une de l'autre, sauf le cas où l'enveloppe serait une droite parallèle à l'un des axes coordonnés.

587. Si, au lieu d'un seul paramètre G, l'équation de la courbe variable contenait deux paramètres C, C,, liés entre eux par une équation de condition <p(C, Cm ) = o, on procéderait de la même manière, en considérant, dans la différentiation par rapport à C, C,

comme une fonction de C, dont la dérivée — - s'obtiendrait en dif-

férentiant l'équation de condition.

On procéderait encore d'une manière analogue, si l'équation de l'enveloppée contenait n paramètres, liés entre eux par n — i équations de condition.

588. Exemples. — I. Soit le cercle variable, représenté par l'équation

En différentiant par rapport à C, il vient

— [x — C ) = k, d'où Ç=.r+ k.

Substituant cette valeur dans l'équation (i), on a, pour l'enveloppe des cercles représentés par cette équation, la parabole

(2) f— ikx=k*.

Si, au lieu de prendre l'équation du cercle sous sa forme entière et rationnelle, on la résout par rapport à C, ce qui donne

C = x + k ± \J~fc* -h 2 kx — j2,

en égalant entre elles les deux valeurs de C, on retrouve l'équation (2) de l'enveloppe.

On obtient encore la même équation, en posant

OC k dC y

-T- = i ± — = oo , ou — = q= ' = 00 ,

Ox y/^-^^kx—y2 ày ^kt-hzkx — j*

équations dont l'une entraîne l'autre.

On aurait pu encore différentier C comme une fonction implicite

de x et de y, déterminée par l'équation (i), ce qui aurait donné

dC x — C dC r

— - =z - = 00 , ou -^— == ■ — 00 ,

dx x — C-hk dj x — C-hk

d'où C = x -+- k, comme dans la première méthode. II. Soit le cercle mobile

L'équation — =o donne C = x-+-y, d'où, en substituant, on

déduit l'équation de l'enveloppe xj = o, qui représente les deux axes coordonnés.

En résolvant par rapport à C, ce qui donne

et égalant les deux racines, on serait arrivé au même résultat. En prenant la règle du n° 586, on aurait

dx y

= co ,

ôj

La première de ces équations donne x=o, la seconde j = o. Ainsi chacune donne une partie seulement de l'enveloppe. Gela tient à ce que cette enveloppe se compose de deux droites parallèles l'une aux x, l'autre aux y [583, 586].

III. Cherchons l'enveloppe des cercles qui ont pour diamètres les cordes de l'ellipse

parallèles à l'axe ih de cette ellipse. L'équation d'un de ces cercles

sera

(.r-«)2-hJ2 = i32.

En différenciant ces deux équations par rapport à a, dont (î est une fonction, il vient

— - -+- — — = o, [x — a) du + S dp — o, a1 bl

clou, en éliminant — •> aa.

et, par suite,

S2 a»jp*

Substituant ces valeurs dans l'équation du cercle, on a, pour l'enveloppe,

équation d'une ellipse de même petit axe que la proposée, et ayant

pour grand axe le diamètre du cercle directeur de cette ellipse.

La valeur maximum de x étant Ja- -h b2, et la relation entre x

et a. pouvant s écrire sous la forme — ==. — — 4 / H — - 1 il s en-

suit de là que, pour que " ne surpasse pas l'unité, il ne

suffît pas que a. soit <C a : il faut encore que a soit <a. -•

\la- -h 6*

Pour tous les cercles qui correspondent à des valeurs de a comprises entre -- et a, il n'y a plus d'intersection mutuelle des

sj.a* -h b2

cercles variables.

IV. Soit la tangente à une courbe f ( x, y) = o, représentée par l'équation

(i) (Ç — sn)dy — (13 — -j)rf.r = o.

Ici x et j^ sont des paramètres, liés entre eux par l'équation de la

courbe donnée, et qui, comme — > sont fonctions de la variable 1 dx

indépendante. Pour avoir l'enveloppe de cette tangente, différen-

tions l'équation (1) par rapport à cette variable indépeudante. Il

vient

(2) . [i-*)*jr-[v-jr)d*x = o.

Ces équations (i) et (2) donnent pour £ — x et rt — y des valeurs nulles, à moins que le déterminant

dx dy d2 x d'y

ne soit nul. On aura donc, en général, £ = x, yj =y, ce qui donne pour enveloppe le lieu des points de contact, c'est-à-dire la courbe elle-même. Ainsi une courbe est l'enveloppe de ses tangentes. Dans le cas où le déterminant serait nul, on aurait

dxd'y — dyd'-x dy dy

— = d — = o, -- = C, y = Gx -+ C ;

dx- dx dx

ce serait le cas où la courbe proposée se réduirait à une droite, avec laquelle se confondraient toutes ses tangentes.