POINTS SINGULIERS DES COURBES PLANES

589. Les points pour lesquels les courbes présentent des particularités qui mettent les règles générales précédentes en défaut sont de deux sortes. Les uns dépendent simplement du système de coordonnées auquel on rapporte la courbe, et varient avec ce système. Tels sont les points de maximum ou de minimum de l'abscisse ou de l'ordonnée. On peut faire rentrer ces points dans la règle générale par un changement du système de coordonnées, en échangeant, par exemple, entre eux les axes des x et desjy.

Les autres tiennent à la forme géométrique de la courbe, et ne cessent pas d'être des points exceptionnels, à quelque système de coordonnées que cette courbe soit rapportée. C'est à ces derniers points que l'on donne spécialement le nom de points singuliers.

Les principales espèces de points singuliers que l'on rencontre dans les courbes planes sont, outre les points d'inflexion, dont nous nous sommes occupés dans le § III : i° les points multiples ; i° les points isolés ou conjugués ; 3° les points de rebrous sèment; 4° les points à' arrêt ou de rupture; 5° les points saillants ou anguleux.

590. Une courbe algébrique, dont l'équation a été ramenée à la forme entière et rationnelle, ou du moins dans l'équation de laquelle les radicaux sont pris dans toute leur généralité algébrique, ne peut présenter de point d'arrêt, c'est-à-dire de point où vienne se terminer brusquement une seule branche de courbe.

En effet, une branche de courbe se termine pour une certaine abscisse, lorsque l'équation en y, dont les coefficients sont des fonctions de x, admet une racine réelle d'un côté de cette abscisse, imaginaire de l'autre. Or une équation algébrique à coefficients réels n'admet des racines complexes que par paires; si bien que, lorsqu'une racine, par la variation des coefficients de l'équation, passe du réel à l'imaginaire, la racine conjuguée doit passer en même temps du réel à l'imaginaire. Au moment précis où les racines conjuguées u±u\j — i se changent en racines réelles, les quantités u et v variant d'une manière continue, v \J — i s'évanouit en passant de l'imaginaire au réel, et les deux racines deviennent égales. Donc au point même où s'arrête la première branche de courbe vient se terminer une seconde branche, qui fait la continuation de la première, et généralement ce point répond à un simple maximum ou minimum de l'abscisse, qui changerait avec la direction des axes, et qui, en lui-même, ne se distingue en rien des autres points.

Il en serait de même si l'équation était résolue, les radicaux étant pris avec toute leur généralité ; car alors elle équivaudrait complètement à l'équation délivrée de radicaux.