CHAP. I

Ç — or.

df

dy

ou

On peut encore obtenir l'équation (4) en exprimant qu'un point quelconque de la normale est sur la limite de la perpendiculaire élevée au milieu de la corde qui joint les deux points (x,y) et (x -h dx, y -+- dy). On obtient cette condition en exprimant que la distance du point (£, fl) au point (x,y) ne change pas, lorsqu'on y remplace x,y par x H- dx, y H- dy. En égalant donc les carrés des deux distances, on a

(ç ,)t + (, y)* = (ç , dz)* + (i - y - dy)\

rf[(ç-*)«H-(i-.r )*] = <>,

la différentielle étant prise en faisant varier seulement x,jA, et laissant £, yj constants. En effectuant la différentiation, on retrouve l'équation (4).

Si les coordonnées sont obliques au lieu d'être rectangulaires, l'équation de la normale sera

d[[l — x)*-\- (x —y)' "'r 2(Ç — ar) (lj — j) cosô] = o,

c'est-à-dire

[> — x -+- (vj — j) COSÔ] <"Z.r + [(£ — x) cosS + Y) — y]dy=zo.

De cette équation et de la différentielle de l'équation de la courbe

on tire

H — x -+■ (yj — j ) cos 9 ( £ — a?) cos 6 -+- yj — y

pour l'équation finie de la normale en coordonnées obliques.

508. Désignons par ds = \jdx'2-\~dy- la longueur de la corde infiniment petite qui joint les deux points

[x,y] et [se 4- dx, y + dy).

En appelant a, jS les angles que fait cette corde avec les axes coordonnés, ces angles auront pour limites les angles que fait la tan-