II. L'équation

x3 — 3 o xy -4- y3 = o

donne, pour x = o, y — o,

— =3[a?—ajr)=o1 — = 3{y- - ax) = o. Puis on a, pour ce point,

-r~5 — b,ri "i — 7~ =— 5a, -— - = br,

EXEMPLES DE POINTS SINGULIERS. C)r

et l'équation en y,

( i ) 6jj'2 — 6ayr H- 6x = o,

a une racine nulle et une racine infinie. Pour avoir le sens de la concavité, différentions deux fois l'équation précédente, ce qui donne les équations

( j-2 — ax ) y" 4- iyyn — i ay' -+- i -t. = o, ( y~ — ax) y'" -+- 6yy' y" — 3 a y" -h i y'3 +2 = 0.

On tire de la dernière, pour x — y = 7 = o, y" '— -5—5 valeur po-

si tive avec a ; donc la branche tangente à l'axe des x est concave vers le haut. Pour l'autre branche, tangente à l'axe des y, nous chercherons le sens de sa concavité relativement à la direction

des x, lequel dépend [547] du signe de x° ' = -s- Or on a, en

négligeant des quantités qui s'annulent,

D'ailleurs l'équation (1) donne

yf

d'où, pour x = o,j^' = co,

limj/'^ a.

Donc l'équation ci-dessus donne

x„=yl = i,

y':i 3 g ' et par suite la courbe est concave vers la droite. III. Considérons la courbe

j-2 — ix- y -+- x'à — o, ou y = x'2 (1 zh ^ 1 — x),

pour laquelle -r- et -y- s'évanouissent au point x = o,y = o. L'équation dérivée seconde donne, en ce point, 1.^-=- o. Donc j/ a une valeur double égale à zéro, ce qui annonce deux branches

Q2 LIVRE I. — CIIAP. I, § VIII.

tangentes à l'axe des x. Pour avoir le sens de la concavité, on poussera jusqu'à l'équation dérivée quatrième, qui donne

d'où les deux valeurs y" — 4)j" — °- La première valeur indique une branche concave vers le haut; la seconde annonce une inflexion. En effet, en différentiant une fois de plus, on trouve j'">o.