V. Soit encore la courbe

j- -4- x- -+- x% = o, ou y =± x \j — i — x.

On voit immédiatement que l'origine est un point du lieu, lequel

i àf df ^ . ,, , . ,„ „ , , . ,

annule -r- et--* Four ce point, 1 équation a2/"— o se réduit a ax or ii./

7 '2 -h- i -— o, qui n'a pas de racine réelle. Donc l'origine est un point isolé.

602. Dans le cas où les coordonnées x, y sont exprimées en fonction d'une variable indépendante t, on a un point multiple lorsque x et y reprennent l'un et l'autre les mêmes valeurs respectives pour deux valeurs distinctes t et t -j- 9 de la variable indépendante. Ainsi, si les équations qui représentent la courbe sont x = 'f(l), y = x(*)> ^es P0ints multiples seront déterminés par les deux équations

d'où l'on tirera les deux inconnues t et 0.

Soit, par exemple, la cycloïde raccourcie, représentée par les

EXEMPLES DE POINTS SINGULIERS. Cj3

équations

x =z a [nt — sin t), y = a [ i — cos t) .

Les points multiples seront déterminés par les équations

nt — sin*= «(M- 5) — sin[t-h Q), — cos? — — cos[t h- 0).

On en tire 0 = — 2£, /z£~sin£, ce qui est admissible pour

Si /2 = i, cas de la cycloïde ordinaire, on a dj-- asintdt, va-

, „ , sinf i . „ .

leur nulle pour £ = o; y = = cot — t. îniini pour t= o;

1 J i — cos/ 2 r

d'2j~ =-. acostdl-, valeur positive. Donc l'origine répond à un minimum àe y , et non de x, pour lequel y = °° • Donc [597] c'est un point de rebroussement de première espèce.