Si a est une constante réelle, l'équation

(2) z — at

représentera l'axe Ox. En multipliant le second membre par un coefficient de direction ela, l'équation

z = ae'at

représentera une droite faisant avec Ox l'angle ce. Si l'on écrit maintenant a au lieu de aeta, a étant alors une quantité complexe quelconque, l'équation (2) représentera une droite quelconque passant par l'origine.

Pour t == 1 , z = a. L'équation ( 2) est donc celle de la droite qui joint l'origine au point a.

Si l'on multiplie le second membre par un coefficient de direction e'9, l'équation

z = e'^at

représentera une droite faisant avec la droite (2) l'angle 9. Réciproquement, l'angle 6, que font entre elles deux droites

( 3 ) z = at, z = a't,

est donné par l'équation (1 )

('J II est entendu que, dans cette équation et les autres analogues, on ne s'occupe que de l'égalité des arguments.

(j6 LIVRE III. — G H AP. I, § IX.

cet angle étant compté de la seconde droite vers la première. En supposant 0 = — , on a, pour l'équation de la perpendiculaire à la droite (2),

z — iat.

Réciproquement, la condition de perpendicularité des droites (3) sera

La bissectrice de l'angle des deux droites (3) a pour équation

z = \Jzh ad . t,

en prenant le signe -f- ou le signe — , suivant que l'on considère les portions des deux droites correspondantes à des valeurs de t de même signe ou de signes contraires.

608. En ajoutant à chaque valeur de z une droite constante en grandeur et en direction b, on obtiendra une parallèle à la droite (2), dont l'équation sera

(4) z = at -\- b.

En faisant varier b, 011 obtient toutes les parallèles à la droite (2). Pour que deux droites

z — at-h b, z — a! t + V

soient parallèles, il suffit que les droites z = ut, z = a' t se confondent, ce qui aura lieu si leurs coefficients angulaires a, af sont deux quantités complexes égales, ou du moins ayant même argument et par suite un rapport réel. La condition de parallélisme

sera donc

— — une quantité réelle.

La droite (4) passe par les points b, b -+- a et Z» — a.

Pour avoir l'équation d'une droite passant par les deux points donnés zt,z2, on identifiera ces points avec b et b-\-a, ce qui donnera b = zt, a = z2 — z{, et l'équation de la droite sera

CALCUL DES ÉQUI PO LLENCE S. 97

L'équation d'une droite menée par le point c et faisant avec (2) ou (4) l'angle 0 sera

z = c -+- e'v at.

L'équation de la perpendiculaire abaissée du point c sur la droite

(2) ou (4) sera donc

z=c-f iat.

609. Si l'on considère un lieu géométrique comme engendré par le mouvement du point z correspondant au temps £, un terme de la forme al exprimera un mouvement de translation suivant la direction Oa ou parallèlement à cette direction.

Un terme de la forme aelt exprimera un mouvement de rotation de la droite a autour de son extrémité initiale.

D'après cela, il est facile de voir que les équations

z = ne

représentent un cercle ayant son centre à l'origine,

z = aeil -+- b « un cercle ayant son centre au point b,

z = aen + bt ■> une cycloïcîe allongée ou raccourcie,

z = aeu H- beint » une épicycloïde ou une hypocycloïde,

z = ateu » une spirale d'Archimède,

z = ae(n+i')t » une spirale logarithmique,

z = «(i — it\ elt » une développante de cercle.

Les équations x — gcost, y — hsint représentent, en coordonnées obliques, une ellipse rapportée à deux diamètres conjugués ig, 2/2. Si a et (3 sont les angles de ces diamètres avec l'axe

origine des directions, les coordonnées x et y seront affectées des coefficients de direction e!a, e'?; et comme (jïg. 58)

z = OM = OP + PM = x eia -r ye®, H. — Cours de Cale, infui., II. 7

si l'on pose

geiaz=r. a, Ae'Prrr b,

on aura enfin, pour l'équation de l'ellipse,

(5) z = a cost -i- b sinf.

On pourrait remplacer, dans cette équation, cos£ et sint par deux autres fonctions quelconques de t dont la somme des carrés soit l'unité, et représenter l'ellipse par l'équation

(6) ï=«T+ byJT— T2.

En particulier, si Qa et Ob sont les deux demi-axes, de longueurs a et 6, et que l'on prenne la direction Oa pour origine des angles, Ob sera représenté par it), et l'équation deviendra, a et b étant réels,

(7) z = acost H- ihsint.

Si, dans l'équation (5), on remplace t par i -I — 1 on aura un autre point de l'ellipse N, représenté par

(8) ZJ— — a sin t -+- Z> cos t.

Or l'expression

Ç = zcost -h zx sinr=: «cos(t -i- t) -+- é sin(rH- t)

représente encore un point de l'ellipse, quel que soit r. Donc OM et ON sont deux diamètres conjugués.

On tire maintenant des équations (5) et (8)

Donc la somme des carrés de deux diamètres conjugués, pris en grandeur et en direction, est constante. Si l'on remplace z, zt,a,b par reip, i^eip>, ge'a, Ae'p, on tire aisément, de l'égalité précédente,

(r« + r\f - 4[;T1sin(jPl-Jp)]2= (g* + h*f- ftgh sin(|3 - «)]2,

ce qui est une conséquence des théorèmes d'Apollonius.

Désignons par^/"2 la somme constante a^-i-b-, et soient Ofel

CALCUL DES EQUIPOLLENCES. gg

O/i = — O/les deux valeurs de \Ja2 -f- b- . On peut écrire

f=SJ{a + ib)[a-ib).

Si l'on mène kaki perpendiculaire à Oh, et que l'on y porte les longueurs ak =■ akK = Qb, alors on aura

0 /-j = a + ib, 0 /' -— a — ?Z>, et par suite

donc O/" est une moyenne proportionnelle bissectrice entre Oki et O/f.

On peut construire autrement ces mêmes points^", fK. On peut écrire

On obtient — = Oc en construisant le triangle Obc directement a

semblable à Oab, puis menant ad égale et parallèle à Oc. Alors

Of sera la moyenne proportionnelle bissectrice de Oa et de Od.

Puisque l'on a.f- = z2 -f- z2, on en conclut, à cause défi === — f,

z\ = on2=: (/- z) [z -/o = m/./;m.

Donc le diamètre conjugué de OM est la moyenne proportionnelle bissectrice entre les deux rayons vecteurs M/*, f{ M. Il est donc parallèle à la bissectrice de l'angle formé par un de ces rayons vecteurs et le prolongement de l'autre.