Etant donnée l'équation d'une courbe
la différentielle dz représentera en grandeur et en direction l'élément d'arc de la courbe, et, si l'on désigne par ds la longueur de cet élément et par w l'angle de la tangente avec l'axe Ox, on
aura
dz = eimds.
La valeur de ds est la moyenne proportionnelle entre dz et son
conjugué [605, I],
ds ~ Sjdz . dz .
L'angle w est déterminé [604, II] par la formule
dz
dz
En différentiant cette expression, on obtient l'angle de contingence du>.
Ainsi, pour la spirale d'Archimède, dz = atelt , et l'on a
dz = a ( i -r it) eildt, dz = a[\ — it)e~1' dt, d'où l'on tire
(fc = ay'i + ;2. dt, eiu> = eu
I i-\-it
i — it Pour l'ellipse rapportée à ses axes [610, (7)], on a
dz = ( — a sin t -+- 6 i cos t ) dt , d'où résulte
ds = \/a- sin2 1 + fc2 cos2 1. dt.
612. Cherchons maintenant l'équation de la tangente. Cette équation étant de la forme £— z -\- az, le coefficient angulaire a doit être égal [608] à <iz multiplié par une quantité réelle, que
nous pouvons choisir égale à — • En posant donc
dz
nous aurons, pour l'équation de la tangente au point z,
D'après cela, on aura, pour l'équation de la normale en z,
(10) Ç = zH-iz't,
et pour l'équation d'une oblique, faisant avec la tangente l'angle y,
(11) Ç = z-hei-(z'z.
