CALCUL DES EQUI POLLENCES

613. Exemples. — ï. D'après cela, la tangente à l'ellipse aura pour équation

t — acost -1- b sin?-f- (• — asmt -f- bcost)z.

On voit que cette droite est parallèle au diamètre ON, conjugué de OM [610, (8)], et par suite bissectrice de l'angle supplémentaire des rayons vecteurs.

£ étant la somme des deux composantes «(cosi — rsint), et Â(sin£-h tcosï), parallèles l'une à Oa, l'autre à Ob, cette droite rencontrera l'une des droites Oa, Ob, lorsque sa composante parallèle à l'autre sera nulle. Ainsi on aura le point de rencontre avec

Oa en faisant

smt -f- tcos£= o, d'où

a tangr, et --a- co$t

On trouverait de même, pour le point de rencontre avec Ob,

b C-b~ imV On conclut de là

IL La parabole étant engendrée par la composition de deux mouvements, l'un dirigé suivant Oa et proportionnel au carré du temps, l'autre dirigé suivant Ob et proportionnel au temps, son

équation sera

z — at- -!- bt,

a et b étant des quantités complexes quelconques. L'équation de la tangente sera

t = at- -h bt + [lat -\- b) t.

Cette tangente rencontre Oa pour r = — l, ce qui donne

•ia = —at\

Ce point est donc symétrique, par rapport à l'origine, de l'extrémité de la composante at2 parallèle à Oa. Elle rencontre Ob pour

t = t, d'où Tb = - bt.

IO'l LIVRE III. — CHAP. I, § IX.

Par le point M menons une droite M/* qui fasse avec la tangente MT le même angle que celle-ci fait avec Oa. En introduisant un facteur réel indéterminé k, on aura

v M/:MT = MT: Oa,

d'où, en mettant pour MT = £ — s sa valeur lat -Y- b,

M/= -(%at+bf.

Donc Of= OM -f- M/* a pour valeur

et cette valeur sera indépendante de £, si l'on prend £ = 5

d'où

valeur qu'il est facile de construire. Il existe donc un point fixe par lequel passent toutes les droites faisant avec la tangente un angle égal à l'angle de celle-ci avec Oa. C'est le foyer de la parabole.