III. L'équation de la tangente à la spirale d'Archimède
z = atelt, sera
? = z + aeu[i -hit) t.
Pour avoir l'angle de la tangente avec le rayon vecteur, on prendra la formule
Ç — z z 1 H- il
Ç — z z 1 — it
d'où l'on tire
tango = - [eM— i):[e*a + 1) = t.
614. Cherchons actuellement le centre de courbure, intersection de deux normales infiniment voisines.
Pour passer d'une normale à la suivante, il faut changer t en t -h dt. Au point d'intersection des deux normales, £ doit être le
CALCUL DES ÉQUI POLLENCE S. Io3
même, et par conséquent dÇ nul; mais t aura dû varier d'une normale à l'autre, et se changer en : + dx. On différentiera donc l'équation (10) de la normale par rapport à t (dont z est fonction) et à t, en laissant £ constant, et l'on aura ainsi l'équation
équation qui se partagera en deux équations réelles, d'où l'on
ri—
tirera les valeurs de r et de — pour le point d'intersection. En
mettant pour t la valeur trouvée dans l'équation (10), on aura le '( du centre de courbure correspondant au point z.
La longueur du rayon de courbure sera donnée par la formule
P = y/(ç — *)|ç— z)=ts/z'z-.
Si, dans l'équation qui donne le £ du centre de courbure, on considère t comme variable, on aura l'équation du lieu des centres de courbure, ou de la développée de la courbe proposée.
Le même calcul s'applique à la recherche du lieu des intersections successives des obliques représentées par l'équation (n). Ce lieu porte le nom de développée imparfaite de la courbe.
615. Exemples. — - I. Si l'on considère l'ellipse rapportée à ses
axes principaux,
z = a cos? -î- ib sin t,
J'équation de la normale
Ç = a cos£ -h ib sin t -+- iz[ — a sin t 4- ib cos£ )
donne, par la différentiation,
o = ( — a sin t -t- ib cos t) ( i -+■ i — ) — h [a cos t -+- ib sin t) ,
d'où l'on tire, en séparant le réel de l'imaginaire, abx = a% sin2 1 + è2 cos2 1.
Mettant cette valeur dans l'équation de la normale et faisant
£ = \ -h in, il vient
aÇ = («2 — è2) cos3/, fo, = (&2 — a"-) sin3 *,
d'où l'équation de la développée
II. La cycloïde ordinaire, rapportée à son point de rehaussement et à sa base, a pour équation, le rayon du cercle générateur
étant = i,
L'équation de la tangente est donc
i -4- e~lt t
Pour t = i rf = cot -> on a £ = t -h 21. Donc la tangente
passe par l'extrémité supérieure du diamètre vertical du cercle générateur.
L'équation de la normale est
t = t + i[\ H- t) (1 — eril).
Elle donne £ = t pour x = — 1 ; donc la normale passe au point de contact du cercle générateur. Il vient, en différentiant,
,-it
ch
d'où l'on tire t r— — 2, et par suite le rayon de courbure est double de la normale. L'équation de la développée est donc
Ç = t — i ( I — €TU ) ,
ce qui représente une cycloïde égale à la proposée. On peut, en effet, écrire cette équation sous la forme
t -h 7r =r t •-+- 7T — -xi -+- i[i — e-'"'+->),
équation de la proposée dont on a transporté le point de rebroussement au point 7T — ii.
Si l'on cherche de même la développée imparfaite, c'est-à-dire le lieu des intersections successives des obliques représentées par
CALCUL DES ÉQUI POLLENCE S. 105
l'équation
■Ç,= t-h (/ + e'ïr) (i— e-il),
on trouve x — — i siny, et par suite l'équation du lieu est
Ç = t -h ( i ~ e'i siny ) ( i — e~u) .
