III. Pour la spirale logarithmique

z = e("+-')% l'équation de la normale est

ce qui donne, en difFérentiant et divisant par 7z -f- i,

d'où l'on tire t = i. On a donc, pour l'équation delà développée,

ce qui donne une courbe identique à la proposée que l'on aurait fait tourner d'un certain angle. La longueur du rayon de courbure

est

Pour la développée imparfaite, on trouve t = siny, ce qui donne

Ç=[i + (/i + /)e'ï siny] e("+0',

équation qui représente encore la même spirale, à la position près.

616. La recherche des développées est un cas particulier du problème des enveloppes, et la solution de celui-ci peut être comprise, avec le problème des trajectoires, orthogonales ou obliquangles, dans une même formule commune.

Soit

l'équation d'une courbe, renfermant un paramètre arbitraire 1, que nous supposerons réel, comme la variable t. Si l'on considère un

lieu rencontrant toutes les courbes de la série représentée par cette équation pour les différentes valeurs de X, les divers points de ce lieu correspondront à des valeurs de z données par l'équation (i3), où l'on fera varier simultanément t et X. Si l'on établit entre ces deux quantités une certaine relation, on déterminera la nature du lieu qui traverse les courbes (i3).

Supposons maintenant que la trajectoire cherchée doive couper les lignes (i3) sous un angle constant 9. On exprimera cette condition en écrivant que l'angle des tangentes à la ligne (i3), obtenues l'une en supposant X constant, l'autre en supposant X variable, est égal à l'angle donné 9.

En différentiant l'équation (i3) dans les deux hypothèses, on trouve respectivement, pour les coefficients angulaires des deux tangentes,

dz df dz dfdf dX dt dt ' dt ~~ dt ~* dl dt '

ou, en supposant, pour abréger, — - = z , -r- — zn

dz ■ dz , dl

— = a', — — z' -4- z — • 01 dt ' dt

On aura donc, pour déterminer l'angle de ces deux tangentes [605, III], la formule

^ZC^

, dl z'

' dt ou, en faisant e2'0 = m,

(i4) (mz'z, — ~z'zf) - — \- [m — i)z'z' = o.

Si 6 = -5 alors m = — i, et l'on a, pour l'équation des trajectoires orthogonales, (i5) (a'5, + i/a,)-+2a'5'=o.

617. L'équation (i4) sert aussi à la détermination des courbes

CALCUL DES EQUIPOLLENCE S. I07

enveloppes. En y faisant Q — o, d'où m = i, le second terme de

l'équation disparaît, et, en supprimant le facteur—? qui, égalé à

zéro, donnerait une quelconque des enveloppées, on a, pour déterminer l'enveloppe, l'équation

(16) z' I, — z' zf = o .

Tirant de là la valeur de X, et la reportant dans l'équation (i3), on aura l'équation de l'enveloppe.

Exemple. — ■ Soit proposé de trouver l'enveloppe des cercles qui ont pour diamètres les cordes d'une ellipse [615]

z — a cos). -f- ib sin 1

parallèles à l'axe ib. L'équation générale de ces cercles est

z = a cos )« H- b sinX . eu.

On trouve, en différentiant,

z' = ib sin 1 . elt, z,z=- — a sin)> -+- b cos a . elt ; l'équation (16) donne alors

— asinLe'1 -h bcosl=-\- as'm\.e~H — écosl,

d'où

b coO- ■=. acost,

et, par suite, on a, pour l'équation de l'enveloppe, celle d'une ellipse

- \jd- H- b- . cos / Z>sin^

= \Ja- + 62. * + ib

s/ a? cos2 ? -+- b'2 \jal cos2 / H- ft2

618. Cherchons encore les trajectoires obliquangles d'une cycloïde mobile le long de sa base, et représentée par l'équation

On a ici

L'équation (i4) devient alors

o = [sin 0 4- sin ( t — 0 )] — + 2 sin 0 ( \ — cos t )

que l'on peut écrire sous la forme dl sin6 — sin (9 -t- t)

dt sinô — sm(0 — t)

cos 0 -+-

= — 1 H = — 1 -'t- cos 2 0 — sin 2 0 tang ( 0

cos 0

ce qui donne, en intégrant,

1 = C — ( 1 — cos 2 0 ) f ■+• 2 sin 2 0 log cos (0

Pour 6= -, 1 = G — 2t, et l'on a, pour l'équation des trajectoires orthogonales de la cycloïde mobile, C étant une constante

réelle,

z — C — î+î(i — eru)\

ces trajectoires sont des cycloïdes égales aux proposées.

619. Trouver la trajectoire obliquangle de toutes les ellipses de mêmes foyers f, fK .

D'après ce que nous avons vu [610 et 613], un segment MT, pris sur la tangente au point M, est égal, à un facteur réel près, à la moyenne proportionnelle bissectrice entre les deux rayons vecteurs fx M, M.f, de sorte que le coefficient angulaire de la tangente est de la forme

Celui de la tangente à la trajectoire sera donc

«c*r v'/iM.M/= «d?'ï v/(OM — O/i ) (O/— OM j ,

ce qui donne enfin

dz ,

dt y