CALCUL DES ÉQUIPOLLENCES
En intégrant cette équation, il vient, pour l'équation des trajectoires obliquangles de l'ellipse,
z=fcos[elit-hC),
en écrivant, pour plus de simplicité, t au lieu de ont. Pour y= —1 l'équation devient
z=/cosC.Ch? — //"sinC.Shf, équation d'une hyperbole.
620. Appliquons les calculs précédents aux trajectoires et aux enveloppes des normales et des obliques d'une courbe donnée. Considérons l'équation d'une oblique
. dz
dt
Pour appliquer à cette ligne la formule (i4)> il faut changer dans
celle-ci z, t, 1 en £, z, t respectivement. On remplacera alors z'
d'C . dz d'c\ dz . d*z ,,, . , ,,
Par dï = e *' etz' par Tt = Tt + e -d¥r> etl e(ïuaUon (l4)
devient, par ces substitutions, en écrivant z', z" au lieu de — '--, -r^i
(17) o = (e'Ym — e-^)z'z'-h [mz'z" ' —z'z") — -4- [m— \)z'z' , ou
(18) o = sinS dx + sin(0 -+- y) dt + — (V° ~ — e-'6 -^- )•
r/.y En posant, comme au n° 611, dz = eia ds, et de plus s' = —•> on a
— r = d logs' = d[i<î> + log/) = ^c?w H y
L'équation (18) devient alors, sous forme réelle,
/ . ds'\
(19) o = sin9dz -t- sin(ô 4- y)dt-\- t i cosOdv + sinô — )•
En faisant dans ces formules y = -> on a, sous ses diverses
formes, l'équation des trajectoires obliquangles des normales.
Si l'on suppose 6= o, on a l'équation de l'enveloppe des obliques, d'où l'on tire
2 i sin y . z'z' . dt
T = ~ z'z" -z'z" =Sm7^'
de sorte que l'équation de la développée imparfaite sera
fao) ? — z-4- (t — e^)z'
,2zv\ „/.
z'z"— z'z" ou, sous une forme plus simple,
i \ ■ . . dz
2i £ = z — (smy— •
«go
En supposant y = -■> on a les formules analogues pour la développée ordinaire,
/ \ -, , z'*' . dz
1 ; z'z"— z'z" du
On en tire facilement les formules du n° 555.
621. Si l'on suppose à la fois 9 = '--, y==-, l'équation (18)
devient
d-z i / dz' dz'
qui donne, en intégrant,
et, par suite, l'équation générale des trajectoires orthogonales des normales sera
^ dz as ou encore
On voit par là que le module de £ — .z est constant, et que, par
