APPLICATIONS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL A LA GÉOMÉTRIE A TROIS DIMENSIONS

TANGENTE, PLAN NORMAL, PLAN OSCULATEUR, NORMALE PRINCIPALE, ETC. AUX COURBES NON PLANES.

623. Une équation entre les trois coordonnées d'un point détermine une surface. Il en est de même lorsque ces trois coordonnées font partie d'un système de n variables, liées entre elles par n — 2 équations.

Deux équations entre les trois coordonnées d'un point déterminent une ligne. Il en est de même lorsque ces trois coordonnées font partie d'un système de n variables, liées entre elles par n — - 1 équations.

624. Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point M d'une ligne. Nous supposerons, pour plus de symétrie dans les calculs, que les trois variables x,y, z sont des fonctions données d'une variable indépendante t, qui peut se confondre avec l'une quelconque des trois variables x, y, z.

Les équations d'une droite quelconque passant par le point M. {oc, y, z) sont de la forme

et la distance de cette droite à un point M' (x -f- h, y -+- i, z -+- h), pris sur la courbe à une distance infiniment petite du point M y

H. — Cours de Cale, infinie, II. O

aura pour carré

(B* — CQ2-^ (C/i — A/e)2-t- (A/— BÀ)2 ~ Â2-+-B2 + C2

o • • , dx . dy . dz . - , . ,

Soient maintenant x= — -■> y ==■ — -? 2 — — les dérivées des

coordonnées par rapport à la variable indépendante t. On aura

h = (x' + sj ) dt, i = {/ H- z% ) efr, h = [z' -+- e3 ) dt,

s,, e2? =3 étant infiniment petits en même temps que dt et que h, i, h. Si l'on détermine A, B, C de manière que l'on ait