PROPRIÉTÉS DES TANGENTES

511. La distance de l'origine des coordonnées à la tangente ri — T=,7'/(£ — x) a pour expression

S/I-HJ'2

x dy — y d.i ds

La perpendiculaire abaissée de l'origine sur la tangente a pour

équation

£ dx -+- vj dy = o .

Combinant cette équation avec celle de la tangente, que l'on peut écrire sous la forme \dy — ridx= xdy — ydx, il vient

'£ ■/} %dr — ydx xdy — ydx

dy — dx dy- -+- dx2 ds2

d'où l'on tire

dy dx.

Ç — zj —— et ïj = — vj —— • ds ds

Le lieu des points (£ , m) s'appelle la podaire de la courbe par rapport à l'origine.

Pour avoir la podaire par rapport à un point quelconque (a, b) du plan, on remplacera, dans le calcul précédent, £, ri, oc, y par H — a, ri — b, x — a, y — b.

512. Mener une tangente à une courbe par un point extérieur à cette courbe.

Les coordonnées x, y du point de contact seront déterminées par la double condition de satisfaire à l'équation de la courbe

et à l'équation générale de la tangente

où l'on prendra pour £, v les coordonnées du point donné par où doit passer la tangente. On peut considérer les équations (i) et (2) comme représentant deux lieux géométriques, à l'intersection desquels doit se trouver le point de contact cherché.

Lorsque l'équation (1) est algébrique, on peut simplifier en général le problème, en remplaçant la seconde équation (2) par une autre de degré moins élevé. Soit, en effet, m le degré de la fonc-

8 LIVRE III. — CHAP. I, g I.

tion f{oc,j), supposée rationnelle et entière, et décomposons cette fonction en groupes homogènes um, um t , . . . , de degrés m, m — i, . . . . L'équation (i) prendra la forme

( 3 ) Um -f- Um i + ...+ «!+ «o = °-

On a, d'ailleurs, en appliquant à chaque groupe homogène le théorème d'Euler [322],

xf'(x) -4- yf'[y) = mum+ [m — i) hb!+ . - .+ 2K2+ «!,

ou, en combinant cette égalité avec l'équation (3) multipliée par

xf'{x) -f r/'(j) =— «m-i — 2«,„2 — • • •— [m — i) «!— m«0- Si l'on substitue cette valeur dans l'équation (a), celle-ci devient

(4) ?/'(^) + -fl/'(j) + wB i + 2«m 2 + . . .-4- (m — i) «i-4-muo^o,

équation qui n'est plus que du degré ni — i en x, j. Donc les points de contact sont déterminés par la rencontre de la courbe donnée de degré m avec une autre courbe, représentée par l'équation (4), et de degré m — i. Le nombre des systèmes de racines communes aux équations (i) et (4) étant en général m [ni — i) [142], on en conclut que, par un point donné hors d'une courbe, on peut mener à cette courbe, en général, m [m — i) tangentes, réelles ou imaginaires, ni étant le degré de l'équation de la courbe. Si l'on applique ces résultats à une courbe du second degré, représentée par l'équation

ax2 + i bxy -+- cy2 -f- idx -f- ley -+-/= o,

on voit que les 2(2 — 1) = 2 points de contact des tangentes menées par le point (£,*/;) sont donnés par la combinaison de l'équation de la courbe avec l'équation

lf[x) + vf(jr) 4- idx H- ley -+- if— o,

qui est l'équation d'une droite, appelée corde de contact, laquelle coïncide avec la polaire du point (£, yj).