L'équation de la normale

/'(*)" TÛr)'

TANGENTES DANS LE SYSTÈME DE COORDONNÉES POLAIRES. g

n'est pas susceptible de la même simplification que celle de la tangente. On conclut de là que les pieds des normales menées à une courbe de degré m par un point donné sont déterminés par l'intersection de la courbe proposée avec une autre courbe de même degré m, ce qui donne généralement m- solutions. Donc, par un point donné, on peut mener à une courbe de degré m, mnormales, réelles ou imaginaires.

514. Soit proposé maintenant de mener une tangente (ou une normale) parallèle à une direction donnée. On cherchera pour

cela les points de la courbe pour lesquels — aura une valeur donnée ex. En remplaçant y' par cette valeur dans l'équation

T>xf[x,y) =o, il vient

équation de degré m — i, si f(x,jr) est de degré m. Cette équation, combinée avec la proposée, déterminera m (m — i) solutions, comme pour le cas de la tangente menée par un point donné

515. Voyons maintenant comment on peut déterminer la tangente à des courbes rapportées à d'autres systèmes de coordonnées que le système rectiligne.

Considérons d'abord le cas des coordonnées polaires. Nous avons vu [194] que l'on détermine la tangente à une courbe rap-

Fig. 35.

portée à un tel système de coordonnées, au moyen de l'angle 9 que fait la direction de la tangente, qui correspond au sens des angles /> croissants, avec le prolongement du rayon vecteur. Cet angle est égal à la limite de l'angle M'MR (fig. 35) ou à celle de l'angle

SM'R' = MM'N. Si l'on abaisse MN perpendiculaire sur OM', on a, en posant la corde MM' = ds,

M'N = ffrcosMM'N, MN — ^sinMM'N.

Or M'N = M' m -!- 77zN, si l'on prend Om=OM, et nous avons vu [194] que //z N est un infiniment petit du second ordre. On a donc, aux quantités près du second ordre, M'N = dr. On a pareillement, avec la même approximation,

7 7 sinafo

MN = r sin dp = rdp — - — — rdp. dp

Donc, en prenant au lieu de MM'N sa limite 0, on aura

dr = ds cos 0 , rdp — ds sin 0 ,

d'où l'on tire les formules

ds = sjdr* H- r% dp* — dp \Jr"2 -f- r'"'

dr r' rdp

cos 0 = — - = - ? sin 0 = — — =

rdp r

516. On peut encore obtenir tango en partant de l'équation de la tangente en coordonnées rectangulaires. Si l'on désigne par x l'angle de la tangente avec l'angle des x, on a 0 — x — p. D'ailleurs

dï , y

iang t =

Donc

tangT=^' tang/?

.rr/y — yc/.r rcosp d(r sin/?) — r sinp d[r cos/))

a? ffo -t- jdj I" ^ ( 7*2 )

d'où l'on tire la même valeur que ci-dessus. Ou bien encore

, . dœ x dr y \d(r^) di

cos 0 = cos ( t — p) = ! — — - = - — - — ' = — 5

ds r ds r rds ds

et de même pour sin0.

517. Il est quelquefois avantageux d'introduire, au lieu du rayon