ABC

A, B, C varieraient donc proportionnellement, et la droite se mouvrait parallèlement à elle-même. Si nous excluons ce cas, le dénominateur de B aura une valeur infiniment petite du premier ordre et différente de zéro.

Tant que T0 n'est pas nul, cette quantité étant du second ordre, la distance $ sera infiniment petite du premier ordre.

Si T0 est nul pour une valeur particulière de t0, dT0 n'étant pas nul en général, § sera, pour cette valeur, infiniment petit du second ordre.

Si T0 est nul, quel que soit t, dT0 sera nul aussi, et par suite â sera infiniment petit du troisième ordre.

Donc, si la plus courte distance de deux positions consécutives d'une droite mobile est infiniment petite d'un ordre supérieur au premier, elle sera, en général, du troisième ordre.

lao LIVRE III. — CHAP. II, § I.

On a, dans ce cas, T = i I A, rf'B, dc\-hy\A, d*B, cV-c I + \ J A, dB, d3c I -1- ei.

En retranchant de cette expression la quantité nulle

^rf2T0=^U/A, d2B, dc\ -+- ^1 A, tf3B, rfcl + i|A, r/2B, r/2c

il reste

A, dB, d3c

T = — i I dA, rf9B, tfc I I A, d2B, rf2c I H- s„

d'où, aux quantités près du quatrième ordre,

■ i 2 I dA, rf*B, dc\ + \ A, d2 B, d2c

12 V 1 B, rfG |2 -h j C, dA |2 + | A, dB |2

631. Supposons que la droite mobile soit la tangente à une courbe donnée. On aura alors

a = ce, b=y, c = z, A=x', B=y', C = z', d'où l'on tire identiquement

dt*

Donc la distance des tangentes en deux points infiniment voisins d'une même courbe est infiniment petite du troisième ordre.

En poussant plus loin le développement, par la méthode du numéro précédent, on trouverait, pour l'expression de cette distance, en posant

et négligeant les infiniment petits du quatrième ordre, t=dt*

i2 // <n\- ( (M v / àA\*

PLAN OSCULATEUR. 121

632. La distance du point M'(x -h dx,y -f- dy, z -h dz) à un plan mené par le point M.(x,y, ~),

a pour valeur [629]

s/ï2 -+- m2 -+- /z2 Si l'on remplace dx, dy, dz par leurs valeurs

dx = x'dt h — jt'V^2 -f- . . . , etc. ,

cette expression de la distance devient

[lx' -+- m/' -4- «s' ) dt -f- (/.r" -+- /rey"

<fc5

Elle sera infiniment petite du second ordre si les coefficients /, m, n satisfont à la condition

(16) /,t'' + mj' + «;' = o,

c'est-à-dire [629] si le plan (i5) est un plan tangent à la courbe. Elle sera infiniment petite du troisième ordre si /, m, n satisfont, de plus, à la condition

(17) /.r" + /«j" + fl/=o.

De ces deux conditions (16) et (17) on conclut

et l'on peut supposer ces coefficients respectivement égaux aux quantités qui leur sont proportionnelles.

Le plan ainsi déterminé, et qui approche, infiniment plus que tout autre plan, de la courbe dans le voisinage du point M(x,y, z), s'appelle le plan oscillateur à la courbe en ce point. En poussant plus loin le calcul et adoptant les notations du numéro précédent, on trouverait, pour la distance à\x^o'\ntM'{x-\-dx,y-\-dy, z-\-dz)

au plan oscillateur en M(x,y, z),

dtS l.

my"'-\-nz"

-Adt*

dz"'

aux infiniment petits près du quatrième ordre. Cette distance est donc double de la distance des deux tangentes en M et en M'.

G33. Les équations (16) et (17), qui déterminent /, m, n, peuvent encore s'écrire, en ne tenant pas compte des infiniment petits négligeables,

(19) l d.Tj -4- m dy -|- n dz = 0, / d2.T -h m d-y -+- n d2 z = o, d'où l'on tire ( 20 ) l'.m'.n-

dy dz d^y dH

dz da d*z d2

d.r. dy d^ x d- y

ce qui équivaut, à la limite, aux proportions (18).

Ces conditions (19) expriment que le plan oscillateur est la limite du plan passant par trois points de la courbe infiniment voisins.

634. La condition pour que le plan tangent (i5) soit parallèle à la tangente en M'(x -4- dx, y -f- dy, z + dz), combinée avec la condition (16), donne

l d.r' -f- m dy' -+- n dz' ■-— o,

ce qui coïncide, à la limite, avec la condition (17); donc le plan oscillateur est la limite d'un plan tangent, parallèle à la tangente au point infiniment voisin.

Soit TT' (fig. 59) la distance des deux tangentes MT, M'T';

Fig. 59.

elle sera égale à la distance de la tangente T'M' au plan auquel elle

PLAN OSCULATEUR. 123

est parallèle, mené par MT et par la parallèle Tra à T'M'. Le plan MT m faisant un angle infiniment petit avec le plan oscillateur MTP, on peut considérer la parallèle M'/n à TT' comme coïncidant en direction avec la perpendiculaire M'P abaissée sur le plan osculateur; de plus, d'après ce qu'on a vu [632],

M'm = -M'P = OTP;

donc la distance mV est du troisième ordre. Or la perpendiculaire PQ, abaissée du point P sur la tangente MT, a pour expression

, TP X angle QTP = - ds â-,

aux infiniment petits près du troisième ordre ; donc l'angle du

plan MT/J2 avec le plan osculateur, c'est-à-dire l'angle raQP, a

pour expression

PQ dsck

§ étant [631 ] la distance TT'; cet angle est donc du premier ordre.

Il en serait de même si, au lieu de prendre pour m le milieu de M'P, on menait un plan par MT et par un point quelconque de la distance M'P, ce qui ne peut faire varier qu'infiniment peu la direction de ce plan. On peut donc, en négligeant les distances infiniment petites du troisième ordre, dire que le plan osculateur est le plan de deux tangentes infiniment voisines.

L'angle du plan osculateur avec la tangente en M ' est

fflP 2 0

i»TP= — = — • TP ds

Cet angle est donc infiniment petit du second ordre.

Nous avons assimilé, en donnant les valeurs de PQ et de TP, la courbe à une courbe plane. Nous verrons plus tard que cette assimilation est permise dans les limites actuelles.

635. La normale menée à la courbe dans le plan osculateur étant représentée par les deux équations

les coefficients "k, [t, v devront satisfaire aux deux conditions

(21) 'kl -+- [>■ ni -f- vn — o, kx' H- p.y' + vzr= o,

d'où l'on tire, à cause de

ds*

ds dls

dt* '

ft'.v

^) — x>[x'x"-hy'y"-

— [d-xds^— dx.dsd-s) '. . . .

— d— -rf— 'd — •

Donc les équations de cette normale, que l'on nomme la normale principale, peuvent s'écrire sous la forme

,id-

tdz ds

Les équations (21) expriment que la normale principale est à la fois perpendiculaire à la tangente et à Yaxe du plan osculateur, lequel a pour équations