Soit une surface représentée par l'équation

Cette équation déterminera une des variables, z par exemple, en fonction des deux autres x, y, considérées comme variables indépendantes. Désignons, pour abréger, par

dz dz

les dérivées partielles de z par rapport à x et ky.

Par le point M[x, y, z) de la surface, menons un plan

La distance de ce plan à un point de la surface

infiniment voisin de M, sera

Ak-hBi-+-CÏ

y/ A2 -h B2 + C2 Or on a [227 J

e et s' étant infiniment petits en même temps que h et i, si, comme on le suppose, z est une fonction continue de x et de y\ donc

Cette distance est généralement infiniment petite du premier ordre; mais elle deviendra infiniment petite d'un ordre supérieur,

quel que soit le rapport — ? si l'on détermine les coefficients A, B,

C de manière que l'on ait

(3) A + Cp = o, B + C«7 = o,

auquel cas l'équation (2) devient

Le plan déterminé par cette équation s'appelle le plan tangent à la surface au point [x, y, z).

Les quantités p et q étant déterminées par les équations

/'(*) -t-pf(*) = °> /'(/) + î/'M = °> les équations (3) donnent

et par suite l'équation du plan tangent peut s'écrire sous la forme

( 5 ) /'(-) (5 - *) + Al) (1 - .r) +>'(«) (5 - «) - o.

638. Les équations d'une courbe quelconque, tracée par le point M sur la surface, s'obtiennent en joignant l'équation (1) à l'équation d'une autre surface passant par le point M. Si l'on cherche les équations de la tangente en M à l'une de ces courbes, l'une de ces équations ne sera autre chose [627] que l'équation (5); donc les tangentes à toutes les courbes tracées par le point M sur la surface sont situées dans le plan tangent à la surface en ce point.

639. L'équation (5) n'est autre chose que ce que devient l'équation différentielle de la surface

dz = p dx -f- q dj, ou /' [x] dx -\-f ( j) dy -\-f [z] dz = o,

lorsqu'on y remplace dx, dy, dz par \ — x, v — y, '( — z. C'est donc le lieu des droites données par les équations

dx dy dz

Donc le plan tangent est le lieu des limites des droites qui passent par le point M et par un point de la surface infiniment voisin. Ces limites sont dites les tangentes à la surface au point M.