PLANS TANGENTS, NORMALES
tangent ; donc le plan tangent est la limite d'un plan mené par le point M(x,y, z) et par deux points M/(x/,y/, zf) et Mf/(x/ryf/, zf/), pris sur la surface et infiniment voisins de M.
Il faut cependant, pour cela, que les deux sécantes MM, et MM aient pour limites des tangentes différentes, sans quoi la limite de leur plan serait indéterminée. Ce dernier cas aurait lieu si les points M, M/7 M; étaient situés sur une même courbe quelconque tracée par M. Dans ce cas, les angles M et M du triangle infinitésimal MM,Mff seraient infiniment petits. Or, pour qu'un triangle infinitésimal, tracé sur la surface, détermine à la limite le plan tangent, il faut et il suffît que deux au moins de ses angles aient des limites finies, sans quoi les trois côtés du triangle détermineront le plan osculateur à la courbe MM;M;/ et non le plan tangent à la surface. Ce plan osculateur pourra recevoir une direction quelconque si l'on déplace le sommet M d'une quantité infiniment petite du second ordre.
641 . La perpendiculaire au plan tangent, menée par le point de contact M, ou la normale commune à toutes les courbes tracées sur la surface par ce point, est dite la normale à la surface au point M ; elle a pour équations
(7) l — x +/>(£ — *) = <>> *— .r + ff(Ç — *) = o,
ou
/on S — x v — r ? — z
La normale peut être définie comme la limite de l'intersection commune de tous les plans perpendiculaires sur les milieux des cordes infiniment petites menées par le point M. En effet, un point (£, n, "Q d'un de ces plans étant équidistant des points
M^,^, z) et M' (x -+- dx,j -+- dj7 z -f- dz), on a pour ce point
la différentielle étant prise en considérant £, yj, Ç comme des constantes, ce qui donne, aux infiniment petits près du second ordre, en remplaçant dz par sa valeur p dx -+- y d/y,
(9) [Ç — ce + p[\ — z)\dx -h [yj — y -+- q (Ç — z)]djr = o.
Si l'on égale séparément à zéro les coefficients de dx et de dj, ou aura les équations d'une droite par laquelle passeront les limites de tous ces plans et qui sera la normale à la surface.
On aurait pu partir de cette dernière définition de la normale, et en déduire réciproquement celle du plan tangent.
642. Tout plan passant par la normale est dit un plan normal à la surface. On a l'équation d'un plan normal, en écrivant qu'il est perpendiculaire à une tangente, ce qui donne l'équation (9). Si l'on pose maintenant
dr
— = 1, d'où clz — [p -h lg)dx,
dx
les équations de la tangente seront
l p + lq
ce qui donne, pour l'équation du plan normal,
ou
[Ç — x-hplK — Z)] + X[ï3— j + 9(Ç z)]=o,
équation qui exprime directement que ce plan passe par la normale (7).
643. Souvent les trois coordonnées x, y, z d'un point de la surlace sont exprimées au moyen de deux variables indépendantes u, v. En désignant, pour abréger, par des accents supérieurs les dérivées partielles prises par rapport à u , et par des accents inférieurs les dérivées partielles prises par rapport à v, on a
dx = x' du -+- x,dv, dy = y 'du -+- y. de, dz = z'du H- ztdv. On aura alors, au lieu de la formule (3),
\/A2 + B2~-^~Cdonc d sera infiniment petit d'ordre supérieur au premier, quels
