PLANS TANGENTS
que soient du et dv, si l'on a à la fois
(10) Aa?'+By+Cs'=o, Aj^ + B.i-, + C:, = o,
d'où
xt
d[jr,*).
On peut aussi retrouver de cette manière l'équation du n° 637. En effet, en différentiant l'équation (i) par rapport à u et à r, on a
f'(x).x>+f'(r)./+f'(z).z'=r-0, f'{x).xl^f'iy).rl-^f{z).z-o. Ces équations, comparées aux équations (io), donnent
d'où l'on déduit encore l'équation (5).
644. Etant donnée l'équation (i) d'une surface, soit proposé de mener un plan tangent à cette surface, et passant par un point extérieur (a, (3, y). Les coordonnées du point de contact devront satisfaire à la fois à l'équation (i) et à l'équation (5), en remplaçant dans cette dernière les variables £, n, Ç par les valeurs données a, (3, y, ce qui donne
(il) (« - *)/'(*) + (S -j)/'(j) + (y - *)/'(.) =o.
Cette dernière équation, si l'on y fait varier x,j, z, représente une nouvelle surface, dont l'intersection avec la surface (i) détermine une courbe, lieu des points de contact des plans tangents à la surface (i) et passant par le point (a, (3, y).
Si l'équation (i) est algébrique, l'équation (ii) sera du même degré ; mais il est facile de voir que l'on pourra la remplacer par une autre, d'un degré moindre d'une unité. En effet, l'ensemble
des termes
«/'(*) + iS/'(J) + y/'(3)
est du degré n — -i, n étant le degré de l'équation (i). L'ensemble
H. — Cours de Calcul in fin., II. Q
]3o LIVRE III. — CHAI1. II, § II.
des termes
qui est du degré n, peut, en vertu de l'équation (i), être abaissé à un degré moindre que n. En désignant par fa l'ensemble des termes du degré k dans le polynômey(.r,J,', z), on a [322]
d'où
L'équation (i) donne d'ailleurs
En éliminant^ entre ces deux égalités, il vient
■^//(.r)+Jy'(j) + z/'(Z)=:-/„1-2/71 2-...-(«-l)/„1-«/ô.
Donc l'équation (n) peut être remplacée par la suivante :
(12) a/'(tf) + P/'(j)+7/r(z)+A 1+3/w s+. . . + («— i)/1 + »/0=o,
qui n'est plus que du degré 7i — 1, et qui représente une surface passant par l'intersection des deux surfaces (1) et (11). Si, entre les équations (1) et (1 1) ou (12) et les équations
de la tangente à la surface menée par le point (a, (3, y), on élimine les coordonnées x,y, z, on aura l'équation du cône circonscrit à la surface et dont le sommet est appoint [ex, (3, y).
645. En particulier, si l'équation (1) est du second degré, l'équation du plan tangent sera réductible à la forme
ïf[*)-hvf[r) + £/'(*) +/t+ 2/0 = o.
En développant cette expression, on voit qu'elle ne change pas, lorsqu'on y remplace x,y,z par £, yj, £, et vice versa. On peut donc représenter l'équation du plan tangent sous l'une ou l'autre des deux formes
(i3) îf [x) 4- r,f(y) + lf(z) +./•(.*•, r, s) + >./0 = o,
(i4) */r(ç)+r/r(«)+*/(Ç)+/i(Ç.^Ç) + Vo=*.
PLANS TANGENTS. ï3l
L'équation (i4) montre que la courbe de contact de la surface avec le cône circonscrit qui a pour sommet le point (£,»?,£) est plane.
Cette équation (i3) ou (i4)> qui exprime la dépendance entre les coordonnées du sommet du cône et celles d'un point du plan de contact, montre que, si l'un des deux points (£, y, *Q, (x,y, z) décrit un plan, l'autre reste fixe, et réciproquement, et que, si l'un de ces points décrit une droite, l'autre décrit également une droite.
646. Le plan tangent sera parallèle à l'un des axes coordonnés, à l'axe des z, par exemple, si le coefficient f'(z) de £ dans l'équation (5) est nul. Dans ce cas, les deux dérivées partielles
sont généralement infinies, sauf pour les points, en nombre limité, où le plan tangent serait parallèle à l'un des deux plans coordonnés qui passent par l'axe des z.
Si l'on cherche l'intersection des deux surfaces f ( x, r, z) = o, f (z) = o, on a le lieu des points de la surface donnée pour lesquels le plan tangent est parallèle à l'axe des z. En éliminant z entre ces deux équations, on aura une équation ^(x,jf) =o, qui représentera soit la projection de la courbe de contact sur le plan des x,j, c'est-à-dire le contour apparent de la surface relatif à ce plan; soit le cylindre projetant de cette courbe, c'est-à-dire le cylindre parallèle à l'axe des z et circonscrit à la surface.
On trouverait d'une manière analogue les contours apparents de la surface relatifs aux deux autres plans coordonnés.
647. La condition pour que le plan tangent soit parallèle à une droite donnée
r y z abc
est exprimée par l'équation
af'[X) + bf[y)^cf[z) = o.
Cette équation, jointe k f{x,j, z) = o, donnera la courbe de
contact, lieu des points de contact des plans tangents parallèles à la droite donnée.
Si l'on élimine x,y, z entre ces équations et les équations
on aura pour résultante l'équation en £,ïj, *£, qui représentera le cylindre circonscrit à la surface et parallèle à la droite donnée.
648. Lignes de niveau et de plus grande pente. — Prenons le plan des xy pour plan horizontal. On appelle ligne de niveau une courbe tracée sur une surface donnée, et dont tous les points sont à une hauteur constante z = C au-dessus du plan horizontal. En d'autres termes, c'est l'intersection de la surface avec un plan horizontal.
Les équations finies d'une ligne de niveau sont
f[x,jr,z)=o, z = C, ou, ce qui revient au même,
f(x,jr, C)— o, z = C,
G étant un paramètre constant pour chaque ligne de niveau, et variant d'une ligne de niveau à l'autre.
En éliminant cette constante par différentiation, il vient
dz = o, ou pdx -+- q dj •=. o.
Si l'on élimine z entre cette dernière équation et l'équation de la surface, on aura l'équation différentielle, entre x,y, dx,dy, de la projection horizontale d'une ligne de niveau, laquelle est égale à la ligne de niveau elle-même.
649. On appelle ligne de plus grande pente une ligne tracée sur la surface, de telle manière que sa tangente en chacun de ses points fasse avec le plan horizontal des x,y un plus grand angle que toute autre tangente à la surface, menée par le même point.
Considérons le plan tangent à la surface au point (x,y, z) ; celle des droites de ce plan qui fait le plus grand angle avec le plan des x,y est la perpendiculaire à la trace horizontale de ce plan tan-
