LIGNES DE NIVEAU ET DE PLUS GRANDE PENTE
gent. L'équation de ce plan étant
■<Z— z=p[l~ j?)-+- q[-0— j), le coefficient angulaire de sa trace horizontale sera La perpendiculaire à cette trace a pour projection sur le plan des x,y
une droite dont le coefficient angulaire est H — > et, comme cette
projection doit être tangente à la projection de la ligne de plus grande pente, on aura, en un point quelconque de cette ligne,
dy q
dx dy
OU
zz: — —
dx p
En éliminant z entre cette équation différentielle et l'équation f(x,y, z) = o de la surface, on aura l'équation différentielle des projections horizontales de toutes les lignes de plus grande pente.
On voit que les projections horizontales des lignes de plus grande pente coupent toutes à angles droits les projections horizontales des lignes de niveau; en d'autres termes, elles en sont les trajectoires orthogonales.
Les lignes de niveau et les ligues de plus grande pente ellesmêmes se coupent aussi à angles droits dans l'espace. Elles forment ainsi deux systèmes de lignes, partageant la surface en un système d'éléments ayant la forme de rectangles infiniment petits.
650. Exemples. — I. Soit une surface de révolution autour de l'axe des z,
On a
p = -i.vf^-hj 5), q = iyf[x^-Jrf').
L'équation des lignes de niveau sera
const. =/(.r2 + v2 ), ou ,r2 -f- j2 = C.
Ces lignes sont donc des cercles.
L'équation différentielle des lignes de plus grande pente
dy q y dx p x
l34 LIVRE III. — CHAP. II, § II.
donne y== G'x. Ces lignes sont donc les intersections de la surface avec des plans passant par l'axe de révolution : ce sont donc les méridiens de la surface.
II. Soit la surface az = xy. On trouve , pour l'équation des lignes de niveau, xy = C, et pour celles des projections des lignes de plus grande pente, y- — x2= C. On a ainsi, pour les projections des deux systèmes de lignes, deux systèmes d'hyperboles équilatères orthogonales.
IJI. Soit une surface à centre du second degré
a xs -f- bj 2 -4- c z- = f, .
L'équation des lignes de niveau sera
ax- H- J>y- = C.
On a ensuite
ax -4- bzp =. o, h y -+- czq = o,
d'où l'on tire, pour l'équation différentielle des lignes de plus grande pente,
dx ax
ce qui donne, en intégrant,
§ III
