DES COURBES NON PLANES. DÉVELOPPÉES
651. Nous avons vu [631] que la plus courte distance de deux tangentes consécutives d'une ligne courbe est un infiniment petit du troisième ordre. Si l'on joint le point M (Jîg- 6o) à un point quelconque Q de cette plus courte distance TT ', le triangle rectangle MTQ, dont le côté MT est infiniment petit du premier ordre et le côté ÏQ du troisième, aura son angle en M infiniment petit du second ordre [634]. Donc chacune des tangentes MT, M/T' fait avec le plan MQM' un angle infiniment petit du second ordre.
THEOREMES DE GEOMETRIE INFINITESIMALE,
De plus, la différence entre l'hypoténuse MQ et le côté MT,
savoir
QT2 QT2
v/mp + qj2 — MT
y/MÏ2 + QT2 + MT 2 MT
est un infiniment petit du cinquième ordre. On peut donc, aux quantités près du cinquième ordre, prendre la somme MQ -h QM' au lieu de MT + T'M'; ou, ce qui est la même chose, on pourra
Fig. 60.
considérer les tangentes consécutives d'une courbe comme formant un polygone infinitésimal circonscrit à la courbe, lequel aurait pour sommets des points quelconques pris sur les plus courtes distances de deux tangentes consécutives; et l'incertitude sur la longueur de chaque côté de ce polygone est une quantité du cinquième ordre infinitésimal, laquelle n'altère pas, par conséquent, la limite de la somme de ces côtés.
652. Considérons maintenant un arc de courbe fini, et partageons-le en éléments infiniment petits, tels que MM'. Prenons les points de division pour sommets d'un polygone inscrit et pour points de contact d'un polygone circonscrit [651]. On verra, comme dans le cas des courbes planes [538], que :
i° Le périmètre d'un polygone inscrit est toujours moindre que celui d'un polygone circonscrit quelconque ;
20 Si l'on introduit de nouveaux points de division, le périmètre du polygone inscrit croît, celui du polygone circonscrit décroît.
En effet, l'angle de chaque tangente avec le plan oscillateur étani du second ordre, et chaque tangente différant de sa projection sur ce plan (ou sur le plan MQM') d'un infiniment petit du cinquième ordre, on peut, aux quantités près du cinquième ordre, remplacer
l3G LIVRE III. — CHAP. II, § III.
les lignes dans l'espace par leurs projections. Or une inégalité entre deux variables, U ^> V, subsiste encore, lorsqu'on altère ces variables de quantités infiniment petites par rapport à leur différence U — V. Soit maintenant tint' une tangente en un point m> intermédiaire entre M et M'. On a, en considérant les tangentes comme se confondant avec leurs projections sur le plan MQM', le contour M£/?z£'M'<^ MTM', égalité indépendante de l'incertitude qui règne sur les longueurs des contours, puisque cette incertitude est du cinquième ordre, tandis que la différence des contours est du troisième [544].
3° Dans le triangle MQM', les angles en M et en M' étant infiniment petits, la différence ( MQ -f- QM' ) — MM' est du second ordre par rapport à MM' [634].
Donc, lorsqu'on augmente indéfiniment le nombre des points de division, les périmètres des polygones inscrits ou circonscrits vont les uns en croissant, les autres en décroissant, et tendent les uns et les autres vers une limite commune. On démontrerait, par le raisonnement connu [237], que cette limite est indépendante du mode de subdivision de l'arc en éléments infiniment petits. Cette limite s'appelle la longueur de l'arc de courbe.
L'arc infiniment petit MM' est compris entre la longueur de sa corde et celle du contour MQM'. Il diffère donc de sa corde MM' d'un infiniment petit du troisième ordre [544]; on aura donc, à un infiniment petit près du troisième ordre,
arc MM' = ds = sjdx- 4- dy* 4- dz2.
De plus, l'arc MM' diffère d'un infiniment petit du cinquième ordre de sa projection sur le plan oscillateur en un de ses points.
653. Soient M0, M), M2 trois points infiniment voisins pris sur une courbe non plane; prenons le plan de ces trois points pour plan des xj. En désignant par t la variable indépendante dont les coordonnées sont des fonctions, soient t0, t0-\-h, t0-\-h 4- //, les valeurs de t. correspondantes aux trois points considérés. Les trois valeurs de z,
z0 = f(ta), z, =/(f0 + h), z, —-f(t0 + // -+• A, )
THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. 1 3y
seront nulles. On aura donc les équations
o = Zi=zQ+hz'0 + L»t9 + Lh*(z'Z + s),
o = z,= sl-hhlz\ -4- -/qz"t 4- g JJ«+ «î)-
En combinant la première équation avec la deuxième, et divisant par h, il vient
On a de même, au moyen de la deuxième et de la troisième, o = z'l+I-A1z"i + ç/il(z"ï-he1).
En développant maintenant z't, z'v z"[ de manière à mettre en évidence tous les termes du second ordre, on trouve
<,-f-K + ^tW+o] + ^iK + *K+«*)] + èAÎW
d'où, en ayant égard à l'équation (i), puis divisant par x
l2J o z0H [a0-+-MJ.
Par l'élimination de ^ entre les équations (i) et (2), il vient (3) o = ^..-iI* + *llW+.).
Ces équations montrent que z" est infiniment petit du premier ordre, et z\ du second.
Si l'on considère maintenant un point correspondant à la valeur t = t0 H- 9 de la variable indépendante, on a, pour ce point,
*^^Q+ifl»<+Ifl»(<;+»)==gfl[A(A + A1)-*-(aA + A1)fl + fl,](<+«)i
quantité infiniment petite du troisième ordre pour 9 infiniment petit. Donc, dans tous les calculs où l'on aura le droit de négliger
les infiniment petits du troisième ordre, on pourra considérer la courbe comme située dans le plan M0 Mt M2 pour tous les points infiniment voisins de M0.
INous avons vu [632] que le plan osculateur est celui dont la dislance à la courbe, dans le voisinage du point de contact, est du troisième ordre. Donc le plan M0M, M2, passant par trois points de la courbe infiniment voisins, a pour limite le plan osculateur, quel que soit le rapport des cordes M0Mo M} M2.
De même,
~h{h^-hx) 2/1 -h h, 02
ie + - \(zZ+*)
donc z est infiniment petit du second ordre dans le voisinage de M0, et il en est de même de l'angle que fait avec le plan M0M| M2 toute tangente ou toute corde infiniment petite, menée dans le voisinage du point M0.
Enfin on a
quantité infiniment petite du premier ordre ; donc la courbure
(en prenant t =. x) de la projection de la courbe sur un plan perpendiculaire à M0 M{ M2 est infiniment petite et change généralement de signe avec la différence 6 — - {1I1 ■+- 7it ) ; donc celte projection aura, en général, un point d'inflexion dans le voisinage de M0. On en conclut que le plan osculateur traverse généralement la courbe au point de contact.
654. Si l'on mène les plans normaux à la courbe en M0 et en M1? ces plans formeront, avec les plans normaux aux mêmes points à la projection de la courbe sur le plan M0 Mj M2, des angles infiniment petits du second ordre ; donc leur intersection rencontrera le plan M0M, M2 à une distance infiniment petite du point de rencontre des normales en M0 et M( à la projection. Donc le centre
ANGLE DE CONTINGENCE. l39
de courbure de la courbe elle-même, c'est-à-dire la limite de l'intersection du plan osculateur avec deux plans normaux infiniment voisins, coïncide avec le centre de courbure de la projection de la courbe sur son plan osculateur.
Nous savons d'ailleurs que le centre de courbure de la projection est aussi la limite du centre d'un cercle passant par les trois points M0,M,, M2; donc le centre de courbure de la courbe proposée est aussi la limite du centre d'un cercle passant par trois points infiniment voisins, lequel centre est l'intersection du plan de ces trois points avec les plans perpendiculaires sur les milieux des cordes M0M(, M,M2.
655. Soient a. b, c les cosinus des angles qu'une droite mobile fait avec les axes, dz l'angle de deux positions de cette droite infiniment voisines. On trouvera, par le même calcul qu'au n° 558, l'équation rigoureuse
2 sm - — ■ = y da- -+- dbl -+- de1 ,
d'où l'on tire, à un infiniment petit près du troisième ordre,
( i ) dz = y/ du- -t- db -+- de' .
En appliquant cette formule au calcul de l'angle de deux tangentes infiniment voisines ou de l'angle de contingence, il vient,
, , dx dy dz
en remplaçant a. b. c par — j -y-? — -, 1 l ds as ds
*=v/(-ïH4H's)'-
Le second membre de cette formule représente rigoureusement le double du sinus du demi-angle de deux cordes consécutives, correspondantes aux valeurs t, t -f- dl, t ': -f- idt de la variable indépendante, valeurs qui déterminent trois points équidistants, aux infiniment petits près du second ordre. On peut donc prendre, pour l'angle de contingence, l'angle de deux cordes égales consécutives [545].
r4o LIVRE III- — CHAP. II, § III.
