SOUS-TANGENTES, ETC., POUR LES COORDONNEES POLAIRES. II

vecteur r, son inverse u — - • On a alors

du dr

d'où

i / dp i— — udp u

ds=— Jdu* -h u*dp2 = -h Ju* -+- u'\ tango = -£-= -.

ir u* du u'

518. Si l'on prolonge la tangente et la normale jusqu'à la rencontre, en T et en N [fig- 36), de la perpendiculaire TON au

Fig. 36.

rayon vecteur, les segments OT, ON de cette perpendiculaire sont dits la sous-tangente et la sous-normale dans le système des coordonnées polaires. Les distances MT, MN, comptées à partir du point de contact, sont appelées la tangente et la normale.

Chacun des triangles OMT, ONM étant semblable au triangle infinitésimal m M M', qui a pour côtés ds, dr, rdp, on a les proportions

ds : dr : rdp = T : r : St = N : S„ : r, d'où l'on tire

r^dp ?'- i

S, — — — - = — = /-tango = p

dr r u

S„= dp

rds

~dr

ds

dp

r' = r cot 0 — s j

uÂ

On peut se poser, relativement à ces lignes, les mêmes problèmes que pour les lignes analogues du système des coordonnées rectangulaires [510]. Si l'on cherche, par exemple, la courbe pour laquelle la tangente est constante, T = a, on trouve qu'elle est représentée par les deux équations

r—acosl, p = tangt—t,

si l'on détermine la constante arbitraire de manière que p s'annule en même temps que t.

519. Le lieu des extrémités T de la sous-tangente est donné par les équations

celui des extrémités N de la sous-normale, par les équations R = S„, P,= /3 + -.

La perpendiculaire g, abaissée de l'origine sur la tangente, a pour expression

r~ dp

p- — r sin 0

ds

La perpendiculaire abaissée de l'origine sur la normale, laquelle est égale à la distance entre le point de contact et la projection de l'origine sur la tangente, a pour valeur

rdr

rcosB =

ds