COURBURE D'UNE SURFACE EN UN POINT DONNÉ

668. Proposons-nous d'étudier les lois qui régissent la courbure des diverses courbes que l'on peut tracer sur une surface par un de ses points.

Soit MM' (jîg. 63 ) une courbe quelconque tracée sur une surface, et soit MM" la section faite dans la surface par le plan oscu-

l5o LIVRE III. — CHAP. II, § IV.

lateur à cette courbe au point M. Du point M', infiniment voisin de M, abaissons M'P perpendiculaire sur le plan oscillateur; menons PM" perpendiculaire sur MM", et joignons les points M', M". Le plan MM'M" ayant pour limite [640] le plan tangent à la surface, puisque M'M" fait un angle fini avec MM', l'angle M'M"P sera fini, si le plan oscillateur de la courbe MM' fait un angle fini

Fis. 63.

avec le plan tangent à la surface en M. Donc M'P et M'M" sont des infiniment petits du même ordre, et par conséquent M- M" sera du troisième ordre [632]. On pourra donc négliger M'M" toules les fois que l'on n'aura à tenir compte dans le calcul que des infiniment petits du second ordre, pour la recherche des limites de rapports. Il en est de même de la différence de longueur entre MM' et MM", laquelle sera infiniment petite d'ordre supérieur au second; donc, dans le calcul de la courbure de la courbe MM' au point M, on pourra substituer à cette courbe la section plane MM", faite par son plan oscillateur.

Donc, pour étudier les courbures des différentes courbes que l'on peut tracer sur une surface par un point donné, il suffit d'étudier les courbures de toutes les sections planes de la surface menées par ce point.

669. Théorème de Meusnier. — Si l'on considère toutes les sections planes qui ont même tangente, les courbures de toutes ces sections sont liées par une relation très-simple à la courbure de la section normale menée par cette tangente.

Soient MT (fîg. 64) ^a tangente commune, MM' la section nor-

Fig. 64.

maie, et MM" une section oblique, dont le plan fait avec celui de MM' un angle e. Par le point T de la tangente, infiniment voisin

THÉORÈME DE MEUSNIER. l5l

du point M, menons un plan perpendiculaire à cette tangente, qui coupe les deux courbes en M' et en M". Les distances M'T, M"T étant du second ordre [504], les arcs MM', MM" ne différeront de MT et entre eux [544] que d'infiniment petits du troisième ordre. De plus, les angles M'MT, M"MT des cordes avec la tangente sont les demi-angles de contingence [541] correspondants à la longueur d'arc MM' = MM" = ds; donc les rayons de courbure des deux courbes sont

ds ds% , ds ds'*'