P = 2 M'MT = 2Ï1'T' P = 2M"MT = 2M"T

D'autre part, le triangle M'M"T est rectangle en M', puisque le plan MM'M" a pour limite le plan tangent, lequel est perpendiculaire au plan normal MTM'; donc M'T = M"Tcose, et par suite

p'— ' p coss.

670. Autrement, prenons le plan tangent pour plan des xj et la section normale pour plan des zx. Soient xOu (fig. 65) le plan

Fig. 65.

de la section oblique, u son ordonnée parallèle h Ou. Son rayon de courbure sera

f (dx* -h du*)2 d.vd2u Or on a

z -- u coss, j=z/sins, dz = du coss =pdx -+- qdy, d2z = <i"2«coss, dy = du sins.

De plus, puisqu'on a pris le plan tangent pour plan des xy, on doit avoir p = q = o, d'où résulte, aux infiniment petits près du

l52 LIVRE III. — CHAP. II, § IV.

second ordre,

dz z= o, du = o, dy = o ;

puis, 7', 5, £ représentant les dérivées partielles du second ordre <Pz d*z d*z dx* dx dy dy1

d*z = pd% x ■+- qd-j -f- rcLc2 -f- isdxdy + £d?;-a = rdx^ ;

donc

rf2« = -^-dx\ coss

En substituant ces valeurs clans l'expression de p' il vient

coss

Pour s = o, p' = - — le rayon de courbure p de la section normale ; donc

p' = p coss.

On conclut de là que si, sur p comme diamètre et dans un plan perpendiculaire à la tangente commune, on décrit un cercle, ce cercle sera le lieu des centres de courbure de toutes les sections langentes à cette tangente commune.

671. Théorème d'Euler. — Considérons maintenant les courbures des diverses sections normales menées par un même point de la surface.

En supposant toujours que le plan tangent en ce point soit pris pour plan des xj, on a, pour x et y infiniment petits,

z = — [rx% -{- nsxy -+- ty-) -f- s3,

g3 étant un infiniment petit du troisième ordre; donc la surface se confond, aux infiniment petits près du troisième ordre, avec le paraboloïde qui a pour équation

z = — (r.r2 -+- isxy -f- ty* ) , et que Ton nomme le paraboloïde oscillateur à la surface au point

INDICATRICE. l53

considéré. Les sections normales de ce paraboloïde ont donc même courbure que les sections correspondantes de la surface.

Soit une section normale quelconque, menée par l'axe Mz et le point M.' (oc, y, z), infiniment voisin de M. On a, aux infiniment petits près d'ordre supérieur au premier,

MM' = v/.r2 H- J2 -h z- = y/x2 -+- j2.

D'ailleurs l'angle de contingence dx = ttttt', donc la courbure de

la section a pour valeur

i dx iz

p "MM7 — MM'2'

Si l'on appelle a> l'angle du plan zMM.' avec le plan des zxy

on aura

x = M M ' . cos y, y = MM' . sin y ,

d'où

, , i i**1 -1- isxy -f- tr2 „ . . „

( i ) - = = r cos- f -f- ^ s sin ^ cos y -1- ? sin- o.

En considérant maintenant tous les points de la section faite dans la surface par un plan parallèle au plan tangent et mené à une distance infiniment petite (du second ordre par rapport aux dimensions de la section) de ce plan tangent, les courbures - des

P sections normales passant par ces divers points seront pi^oportion-

nelles aux inverses des carrés des demi-diamètres de cette