THÉORÈME D'EULER

entre elles. Le point de la surface est dit alors un ombilic ou un point de courbure sphérique.

Dans le cas de l'indicatrice elliptique, on a, au point considéré, un maximum ou un minimum de l'ordonnée z, perpendiculaire à un plan parallèle au plan tangent. On voit alors quelle est la signification géométrique de la condition rt — s-^>o, qui doit avoir lieu [403] pour que la fonction z ait un maximum ou un minimum.

Si l'indicatrice est hyperbolique, c'est-à-dire si l'on a

rt — $'<i o,

cette indicatrice se composera des deux hyperboles conjuguées, dont l'une correspondra aux valeurs positives de z et de p, l'autre aux valeurs négatives. Les asymptotes seront les lignes de séparation des deux régions de la surface dont les courbures sont de sens contraire : elles sont tangentes à l'intersection de la surface avec le plan tangent, et elles correspondent aux valeurs de l'angle <p données par l'équation

— s rh Js- — rt

vdngf— y-

Pour ces directions, on a la courbure - = o. Ce sont les sections

P de courbure nulle.

Si l'on a

rt — s%== o,

l'équation de l'indicatrice peut se mettre sous la forme

(3) - [rx + sy)- = iz,

et elle représente deux droites parallèles, dont la dh^ection correspond à - — o. Pour toutes les autres directions, - a un signe con-

stanl; - est maximum pour la direction perpendiculaire aux droites

(3), c'est-à-dire pour une valeur de <p telle que l'on ait

s t tangf=- = -.

l56 LIVRE III. — CHAP. II, § IV.

674. Soient R, R' les rayons de courbure principaux, c'està-dire les rayons de courbure des sections principales. Les demiaxes de l'indicatrice seront \jizK et \J2zK', et l'équation de l'indicatrice, rapportée à ces axes, sera

d'où l'on tire, en posant [671] x = MM' coscp, y — MM'sinop, MM'2

, , , I COS2 q» sill2 m

Telle est l'expression de la courbure d'une section faisant un angle cp avec la section principale dont la courbure est — •

Pour rt — s- = o, R'= ao , et l'équation précédente se réduit à

I cos2 y

R étant le minimum du rayon de courbure.

Si l'on désigne par pt le rayon de courbure de la section perpendiculaire à celle que fait l'angle cj> avec l'axe des x, la formule

(4) donnera, en changeant cp en <p -+- - •>

d'où l'on tire

ce qui correspond à une propriété connue des diamètres rectangulaires d'une conique.

Pour rt — 52= o, cette dernière relation se réduit à

P Pi R