TANGENTES CONJUGUÉES

La tangente à l'indicatrice en ce point est parallèle au conjugué du diamètre inM' ', mené au point de contact. Si l'on mène par M't le plan tangent à la surface, la trace de ce plan sur le plan tangent en M sera parallèle à M't, et par suite aussi au diamètre conjugué

Fig. 66.

de mM.' . Donc cette intersection et le diamètre mM' ont pour limites respectives deux, tangentes à la surface, MT et MT', parallèles à deux diamètres conjugués de l'indicatrice. Ces tangentes sont dites des tangentes conjuguées, et les sections normales correspondantes, des sections conjuguées.

Si p et p' sont les rayons de courbure de ces sections, a leur angle, on a, par les théorèmes d'Apollonius,

p + p' = R 4- R', pp' sin2 y. = RR'.

CALCUL DES ÉLÉMENTS DE LA COURBURE d'uNE SURFACE EN UN QUELCONQUE DE SES POINTS. OMBILICS.

676. Soient, sur une surface, M et M' deux points infiniment voisins; MN, M'N' les normales à la surface en ces points ; MAM' la section normale de la surface, faite par le plan NMM' {fig- 6j) ', O le centre de courbure de cette section, dx son angle de contingence.

Si nous menons les plans tangents en M et en M', l'intersection BB' de ces deux plans et la corde MM' auront pour limites deux tangentes conjuguées. Soit 0 = MAB l'angle de ces deux tangentes.

Parles normales MN, M'N' menons deux plans perpendiculaires

à BB'. Ces plans détermineront la plus courte distance

BB' = NN' = tf des deux normales infiniment voisines. BB' est la projection de

Fig. 67.

MAM' = ds sur une direction faisant avec ds l'angle 9. Donc cette plus courte distance aura pour expression

(1) 3 = dscos6.

Les normales en deux points infiniment voisins ne se rencontrent donc que lorsqu'on a cos0 — o, ou lorsque les deux tangentes conjuguées sont rectangulaires entre elles, ce qui a lieu seulement lorsque MM' est une section principale.

677. Menons par M' une parallèle M'Q à MN. Les deux droites M'O, M'N' étant perpendiculaires à AM', leur plan sera perpendiculaire au plan NMAM'QO, qui passe par AM'. Donc l'angle trièdre M'OQN' est rectangle suivant M' G.

Déplus, les plans B'M'QN', OM'N', respectivement perpendiculaires à AB', AM', font entre eux le même angle 9 que ces deux droites.

Si donc on désigne par du l'angle QM'N' des deux normales ou des deux plans tangents en M et en' M', et par d*\> Y angle de déviation de la normale, c'est-à-dire l'angle OM'JN'que fait la normale en M' avec le plan NMM'Q de la section normale en M,

COURBURE EN UN POINT QUELCONQUE D'UNE SURFACE. l5g

l'angle trièdre M'ON'Q sera mesuré par un triangle sphérique infinitésimal, qui aura pour angles -•> 9, 9. et pour côtés respectivement opposés dw, dz, d^. On aura donc

dx d\>

11) dto= — — - =: •

v ' sin (5 cos d

Pour obtenir enfin la distance du point M au pied N de la perpendiculaire NJN7, commune aux deux normales consécutives, menons NQ perpendiculaire à M'Q (et parallèle à MM'); N'Q sera aussi perpendiculaire à M'Q (et parallèle à B'M'). L'angle

N'QN = B'M'A = --— 9; l'angle N'NQ = B'AM'= 9, d'où

NN'Q — -î et par suite NN' est perpendiculaire au plan M'N'Q.

D'ailleurs NQ -■= rfs ; donc N'Q = M'Q.rfw = ds sin0, et par suite

(3) ftl'Q = MN= ^sin0.

D'après ces équations, si nous connaissons doi et 9, nous en pourrons déduire les valeurs des angles dz, dty et des distances d, MN, d'où l'on tirera le rayon de courbure de la section normale ds

MM', p

678. En appelant a, (3, y les cosinus des angles que fait la normale MN avec les axes coordonnés, on a d'abord [655]

( 4 ) du = sjdo? H- d§2 H- df .

Pour avoir 9, il faut chercher l'intersection des plans tangents en M et en M', puis l'angle que cette intersection fait avec MM'. L'équation du plan tangent en M est

«(? — x) -Y- |3(ij— j) + 7(Ç— z) = 0.

En différentiant cette équation par rapport aux coordonnées de la surface [556], et remarquant que l'on a, par la propriété de la normale,

( 5 ) a ( Ix -f- P dy -h y dz = o,

l6o LIVRE III. — CHAP. II, § V.

on trouve

c?«(£ — x)-+-dp[r, — y) 4- dy (Ç — z) = o.

En combinant ces deux équations, il vient, pour les équations de BB',

? — X fi

en posant

j3 7 dp d7

7 « dy dix.

I dot. dp

On a maintenant

A 2 4- B 2 4- C2 = ( pdy - y rf|3 ) 2 + • • .

= (|32 + 72) rf«2 4- • . . — 2 [py dpdy 4- . . . ) = ( «2 4- P2 4- 72) [dv? + r/|32 H- <ty2 )

— 2 (P7 ^7 4- . - . ) — («Va2 4- . . . ) = ( k2 4- p2 4- 72 ) ( ^.2 4- f?P2 4- ^/2) — («d« 4- p dp 4- 7 ^7)%

ou, à cause de a2 .4- |32 4- y2 = 1 , d'où a <ia 4- (3 cZj3 4- y <iy = o, A2 4- B2 4- C2 = doc* 4- dp" 4- dy* = dv*.

Donc les cosinus des angles de BB' avec les axes sont

A B du> do.

do*

Les cosinus des angles de MM' avec les axes étant

dx dy dz ds ds ds

on en conclut, pour le cosinus de l'angle cherché,

cosS =

Adx 4- Bdr 4- Cdz

dp dy

dy dz

dw> ds dto ds

Par conséquent, [dtùds sinS)2 = (A2 4- B2 4- C2 ) (dx* 4- dy* 4- dz* ) — [kdx 4- Bdy 4- C dz)*

dy dz