COURBURE EN UN POINT QUELCONQUE D UNE SURFACE
Or on a
dy dz
= (y dot — ady) dz — ( a dp — p dot.) dj
= dot[otdx -+- 3 dy -\- y dz ) —.sd du. dx -+-....),
ou, en vertu de l'équation (5),
dy dz
■ — ot[dotdx 4- dfidy -f- dy dz ),
et de même pour les termes analogues. Donc, à cause de
on a
sinô
e?« a?.r + dp dy -4- dy dz doids
On conclut de là et des équations (2)
dr = du sin 6 =
de. dx -+- dp dy -4- dy dz ds
d-ty =1 du cos 0 =
ds
dot
dp
dy
dx
dy
dz
T dz dotdx -4- dôdr -+- dydz
(,0> p = s= ~ir — -■
679. Si l'on suppose l'équation de la surface donnée sous la forme F(jc,y} z) = o, et que Ton représente par
(11) Xdx + Ydy -hZdz = o
sa différentielle, on aura, en posant S =y X24- Y2 + Z2, pour abréger,
H. — Cours de Cale, infinie, II.
l6a LIVRE III. — CHAP. II, § V.
d'où l'on tire, par un calcul semblable à celui du n° 660,
rfX
dTL
On a ensuite, à cause de
dl il
dZ
, etc . . • ,
abc
da db de
= gï
dY
dZ
dx dy dz
dy
dz
en désignant par A le dernier déterminant. De plus, à cause
de (i i),
, X , Y Ï7Z dXdx-hdYdr + dZdz
dxd — -+• dyd — H- az« — = — = •
Substituant ces valeurs dans les équations (6), (7), il vient ( 1 3 ) cos 0
A . „ dX.dx -4- dYdr -+■ f/Zc/z , sin 9 =:
S^dsdoi
d'où l'on tire ensuite les expressions de dx, tty, §, etc.
Si l'on introduit les dérivées partielles p, q, il vient, en posant
d'où l'expression (12) devient
(14) du= — \/dpi-r-dq2-i-(pdq—qdp)2.
