SECTIONS PRINCIPALES
On a ensuite
~ , „ ( pdq — q dp) dz -+- dq dr — dpdy . „ dp dx -+- d<7 rfr
1 5 ) cos e = - — - — ^ .* . — t-^ — - 5 sm e = '
A2 ^/w dy
/î du ds
On peut parvenir d'une autre manière aux formules précédentes. Les équations de la normale étant
H — x ri — r 'Ç — z
on a [630], pour la distance des deux normales consécutives,
dZ
dZ dx
dX dY
On voit d'ailleurs, comme au numéro précédent, que le dénominateur de cette expression a pour valeur S2doi. Donc l'équation (i) donnera
cos 6
ds S^dsdu
On obtiendra ensuite sin0 comme au n° 678.
En faisant X = oc, Y = (3, Z = y, S — i , on aurait les formules dun°678.
680. Détermination des sections principales et des rayons de courbure principaux . — - Si MM' est une section principale, on doit avoir [676] cos(5 = o, c'est-à-dire [678]
Kd.r. +Brfj + C dz = o,
équation qui, jointe à l'équation (5), a. dx -f- 3 dj -hy<r/z = o, donne
dx '. dy l dz
Or
= y»( y d« — « dy ) — /3 ( a dp — ■ |3 da )
= dv. ( a9 -i- (32 4- y2 ) — a ( ad« + |3 dp + 7 dy) == c?«,
l64 LIVRE III. — CHAP. II, § V.
et de même pour les autres. Donc les sections principales sont déterminées par les équations
, ft, dx dy dz
^ ' d^.~dp~dy'
qui sont la conséquence l'une de l'autre, comme on le voit en ajoutant les rapports terme à terme, après avoir multiplié leurs deux termes respectivement par a, j3, y, et ayant égard à l'équation ( 5 ) et à ce que a. doc -+- (3 dfi + y dy = o.
Si l'on élimine z et dz entre les équations (16) et l'équation de la surface [dont les équations (16) comprennent la différentielle],
on obtiendra une équation différentielle entre x,j et — -, qui déterminera le coefficient d'inclinaison de la projection de la tangente à la section principale sur le plan des xy.
De plus, sin0 étant égal à l'unité, on a, pour une section principale,
dr = du = sjdv? + dp* + df,
et par conséquent les équations (16) donneront
dx dy dz ds
doc dp dy dz
Si, après l'élimination de dz, on pose
dot. = «! dx -f- a2 dy, dp = px dx -+- 132 dy,
dy dx
les équations précédentes pourront s'écrire, en prenant pour R le
signe inférieur, d'après ce que nous verrons plus loin, <
v ' ' ma.
On en tire d'abord
(18) «im2 + («i — Pi) m— Pl= o,
équation qui donne pour m deux valeurs, correspondantes aux deux sections principales, et à chacune desquelles appartient une valeur de R.
On pourrait aussi former directement l'équation du second de-
RAYONS DE COURBURE PRINCIPAUX. l65
gré qui donne les deux rayons de courbure principaux. En effet,
si l'on éçale entre elles les deux valeurs de m en fonction de — 5
que donnent les équations (17), on a
1 yj W ' & Pi P, I
Une des courbures principales est nulle [673] lorsqu'on a
Kj «2 I
681. On peut parvenir aux équations (16) d'une autre manière. Si MM' est une section principale, l'équation (1) donne â = o; partant, les normales à la surface aux points M et M' se rencontrent. De plus, des équations (2) et (3), jointes àsin0=i, il résulte MN = MO = R. Donc le point de rencontre de ces normales est le centre de courbure de la section principale.
Cela posé, les équations de la normale,
l — x tï — y 'c — z
doivent subsister en même temps que leurs différentielles par rapport aux coordonnées de la surface, ce qui donne, en ayant égard
(2 — x)da-\-a.dx (ïj — y) cip 4- /3 dy (Ç — x)dy-\-ydz
= (g — x) du. -4- (ïj —y) dp + (Ç— z) efy ,
ou, en mettant, pour \ — x, yî — jk, £ — ^, leurs valeurs aR, pR, 7R,
R — ( a dcc 4- P <-/,S H- 7 rfy) = o. On a donc
( \ — x) dx -h x dx — o, (vj — y) dp -f- 13 rZj = 0, (Ç — 2) e?7 -4- 7 dz = o ,
d'où l'on tire
, . dx dy dz t, — x vj — y Ç — z
doc dp dy x p 7
comme nous l'avions trouvé dans le numéro précédent.
l66 LIVBE III. — CHAP. II, § V.
682. Si l'on introduit les dérivées partielles de z par rapport à x et à j, on a, à cause de dp = r dx ■+- s dj, dq ~ s dx -j- t dj,
dx = d
p là dp — pkdk
i) dp — pq dq
[ (î2 "+" l ) r — P9S] dK -+- [ ( <Z5 -I- i ) -i — PÇt] dy le
d'où
pqs,
pqt,
k*Ki= (q2 -'r- 1 )ret de même
7e3j31= (j52+ i)s — pqr, A3|32 — (p~ ■+■ i ) t — pqs.
Telles sont les valeurs à substituer dans l'équation (18) et dans l'équation (19), qui devient, en faisant— — . u,
tx
En développant l'expression
Pi h
119], on trouve qu'elle se
réduit à — (p--\- q2-\- 1) {rt — s-). Donc la condition (20) pour
qu'une des deux courbures principales soit nulle est encore ici, dans le cas général, la même,
(a3) rt — i2=o,
que dans le cas particulier du n° 673.
683. Nous avons démontré, dans le paragraphe précédent, qu'il existe toujours deux sections principales, et par suite deux rayons de courbure principaux en chaque point d'une surface. Il s'ensuit de là que l'équation (22) aux rayons de courbure principaux doit toujours avoir ses racines réelles, d'où résultera aussi la réalité des racines de l'équation (18) aux sections principales.
On peut d'ailleurs le vérifier directement comme il suit. La condition de réalité des racines de chacune de ces équations est que la quantité
(a1 + (32p-4(aip2-«2(31)^(a1-|32)2+4«,pi
OMBILICS. 167
soit positive. Or les valeurs de ca, cc2, fi\,fii donnent identiquement, par l'élimination de s, puis de ( q- -}- 1 ) 7- — (yo2 -f- 1 ) £,
(/?2h-i)«2— pq[*i — h)~ (<72 + i)Pi = °- Donc
(/»,+ i)[(«t-Pi), + 4«.M
quantité essentiellement positive. Il en est donc aussi de même du facteur (a4- — 32)2-h 4^2 $\ , ce qui démontre la réalité des racines des équations (18) et (22).
684. Pour que l'expression que nous venons de décomposer en une somme de trois carrés soit nulle, il faut que chacun des carrés soit nul, et, par suite, que l'on ait (34 = o, cct — j32~ o, d'où, en vertu de l'identité précédente, a2 = o. Donc les conditions pour que les deux rayons de courbure principaux soient égaux, ou pour que le point soit un ombilic [673], sont que l'on ait
(24) «2=°, «i=^2i Pl= °>
ou, en mettant pour ces quantités leurs valeurs, (25) £±± = El = t±±.
Ces équations, jointes à celles de la surface, déterminent les trois coordonnées d'un ombilic.
On peut encore tirer ces équations des équations (17), en exprimant que la valeur de R est indépendante de m\ ou encore de l'équation (18), en exprimant que, toute section étant une section principale, m doit être indéterminé, et par suite l'équation en m doit se réduire à une identité.
Pour déterminer, dans ce cas, la valeur de R, on a, le radical étant nul,
Si l'on désigne par fx la valeur commune des rapports (25), et que
l68 LIVRE III. — CHAP. II, § V.
l'on mette pour a ., = j32 sa valeur, il vient
u = — — -— [rt — s~ , u ou h. =
685. Exemple. — Cherchons les ombilics de la surface du second degré
ax1 4- by- 4- czr z=p k.
Les cosinus a, (5, y des angles de la normale avec les axes sont donnés par les équations
— = -A ■= 1- = en posant, pour abréger,
Formons l'équation (18) aux sections principales, puis écrivons qu elle devient identique. Cette équation équivaut a — = -- > ou
rfff d fy
, , w (v aw% dx — ax.wdw btx^dr — -byAvdiv
IpA =— , -— ± .
dx dy dx dy
Or, en éliminant z au moyen de l'équation de la surface, on a
«'2 = a ( a — c) x*1 4- b[b — c) j2 -4- cl, = A^2 + Bj2 4- ck,
d'où wc/w = Ax dx -h Bydy. L'équation (A) devient donc
(<? — ■ &) w^dxdy — - (ar dy — by dx) wdw = o,
ou, en substituant, réduisant, et faisant m = -4-»
B a arjy . m2 4- [ A è x2 — B # j'2 — ( a — b ) ck ] //? — Aô ay =: o. Cette équation devient identique, si l'on pose
xy = o, A &.x2 — B«j'2 — ( « — b) ck = o, ce qui donne deux systèmes de solutions :
(I) x = o, bj- = — k—— -, cs-=A-
ni b — c) „ , c f <7 — & }
'II r =o, cs2= /■ ,
OMBILICS. 169
Pour avoir tous les ombilics possibles, il faut joindre à ces deux systèmes de solutions ceux que l'on obtiendrait en projetant sur un autre plan coordonné, sur celui des jz, par exemple. On retrouve de cette manière le système (II), avec le suivant :
III 2 = 0, **»=*- -, bf=--~k^ -L
x ' cya — o) c[a — 0)
Supposons h positif, et a^>b ^> c. Dans l'ellipsoïde, le système (II) sera le seul qui donne des valeurs réelles pour x,j, z. On aura alors quatre ombilics, compris dans le plan du grand et du petit axe. Dans l'hyperboloïde à une nappe, a et b étant positifs, c négatif, aucun des trois systèmes ne donnera de valeurs réelles. Dans l'hyperboloïde à deux nappes, a ^> o, h et c étant <^ o ; ce sera encore le système (II) qui donnera quatre ombilics réels.
Pour avoir le rayon de courbure correspondant, l'équation (19), ayant ici ses racines égales, donne, à cause de <xt = j32 (24) et
R 2 dy w
En effectuant les calculs, et substituant les valeurs précédentes, on trouve
I aclt
686. Théorème. — Une surface dont tous les points sont des ombilics est une sphère.
En effet, on devra avoir, d'après les conditions (a4)> en chaque point de cette surface,
(A) - = ^ = °. ft=£=°-
On a d'ailleurs
v. dx -f- |3 dy -\- 7 dz = o, d'où
dz u. dz |3
dx 7 dy y
et partant
7 dz 7
dy dx dy dx
c'est-à-dire, en ayant égard aux équations (A), lu) d7 od7
La relation a2 -h (32-f- y2 — 1 donne d'ailleurs
d«. „ d& dy d</. ' d& dy
Effaçant les termes qui s'annulent en vertu des équations (A), et ayant égard à l'équation (B), il vient
[L) dx~dy'
Or, d'après les équations (A), a. ne peut être que fonction de x, et 3 ne peut être que fonction de y. Les dérivées de ces fonctions devant être égales entre elles, quels que soient x et y, ne peuvent
être qu'égales à une même constante. En désignant celle-ci par -■> et
représentant par a, b d'autres constantes, on en tire, par l'intégration,
oc= — 7 — 1 §=' — -7 •> dou 7 — - \jh^ — (.r — af — [y — bf.
h II h
On a donc
adx A- Sdy (.v — a)d.r -f- [y — b)dy
7 ~ y]W — (x a)i (y—bf*
d'où, en intégrant et désignant par c une nouvelle constante,
[x — aY -h (.7 — bf + [z — c)2 = h\ équation d'une sphère.
